《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

例 2 二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的部分图象如图所示,对称轴为直线$x = \frac{1}{2}$,且经过点$(2,0)$,则：①$abc ＞ 0$；②$4a + 2b + c = 0$；③$2a + c = 0$；④若$(-\frac{1}{4},y_{1}),(1,y_{2})$是抛物线上的两点,则$y_{1} ＞ y_{2}$；⑤$\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b \geq am^{2} + bm$。其中正确的结论有(B)

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个


名师导引 充分理解二次函数的图象和性质是解决此问题的关键；解题时要注意利用图象的对称性确定出图象与$x$轴的另一个交点的坐标。

答案： B

变式训练 (2024 富顺三模)二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的图象如图所示,对称轴是直线$x = 1$,则：①$abc ＜ 0$；②$3a + c ＞ 0$；③$(a + c)^{2} ＜ b^{2}$；④$a + b ＜ m(am - b)(m ＞ 0)$。其中正确的结论有(D)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： D

1. (2024 江苏南通)将抛物线$y = x^{2} + 2x - 1$向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点坐标为(D)
A.$(-4,-1)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,1)$
D.$(2,-2)$

答案： D

2. (2024 喀什二模)二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的图象如图,对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$,下列说法正确的是(C)

A.$abc ＞ 0$
B.$b^{2} - 4ac ＜ 0$
C.$2b + c ＞ 0$
D.$4a - 2b + c ＜ 0$

答案： C

3. (2024 绿园二模)在平面直角坐标系中,若抛物线$x = x^{2} - 6xc$的顶点在x轴,则$c$的值为9。

答案： 9（由于本题是填空题，直接填数值即可）

4. (2024 新野一模)二次函数$y = x^{2} + bx + c$的图象如图,则点$P(b,c)$在第三象限。

答案： 三

5. 如图,抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)与x轴交于A(-1,0)$,$B(3,0)$两点,与$y轴交于点C(0,3)$。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过线段$BC上的一动点D作DE // y$轴,交抛物线于点$E$,求线段$DE$长度的最大值。

答案：
(1) 设抛物线的解析式为 $y = a(x + 1)(x - 3)$。
把 $C(0, 3)$ 代入得：$3 = a(0 + 1)(0 - 3) = -3a$，
解得 $a = -1$。
所以，该抛物线的解析式为 $y = -(x + 1)(x - 3) = -x^2 + 2x + 3$。
(2) 直线 $BC$ 的解析式为 $y = -x + 3$。
设动点 $D$ 的横坐标为 $m$，则 $D(m, -m + 3)$，
因为$DE// y$轴，
所以$E(m, -m^2 + 2m + 3)$，
所以 $DE = (-m^2 + 2m + 3) - (-m + 3) = -m^2 + 3m= -(m -\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$，
因为$-1＜0$，
当 $m = \frac{3}{2}$ 时，$DE$ 取得最大值，最大值为 $\frac{9}{4}$，
所以线段$DE$长度的最大值为$\frac{9}{4}$。