《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

探究二 理解和认识二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象和性质
例 2 (2023 禹城期末)在同一平面直角坐标系中作出 $ y = 2x^{2} $,$ y = -2x^{2} $,$ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 的图象,它们的共同点是(C)
A. 关于 $ y $ 轴对称,抛物线的开口向上
B. 关于 $ y $ 轴对称,抛物线的开口向下
C. 关于 $ y $ 轴对称,抛物线的顶点都是原点
D. 当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
名师导引 二次函数 $ y = ax^{2} $ 关于 $ y $ 轴对称,顶点是原点,$ a $ 的取值决定图象的开口方向和函数的最值情况,增减性与 $ a $ 和 $ x $ 的取值有关。
变式训练 (1) 在同一平面直角坐标系中作出二次函数 $ y = -3x^{2} $,$ y = \frac{1}{3}x^{2} $,$ y = 3x^{2} $ 的图象,它们的共同点是(D)
A. 关于 $ y $ 轴对称,抛物线的开口向上
B. 关于 $ y $ 轴对称,当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C. 关于 $ y $ 轴对称,最高点是原点
D. 关于 $ y $ 轴对称,顶点坐标是 $ (0,0) $
(2) (2023 永泰期中)抛物线 $ y = mx^{2} $ 与 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的形状相同,开口方向相反,则 $ m $ 的值是(D)
A. $ -\frac{1}{2} $
B. 2
C. -2
D. $ \frac{1}{2} $

答案： 例2
答案：C
解析：
二次函数$y=ax^2$的图象关于$y$轴对称，顶点坐标为$(0,0)$。
$y=2x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2$开口向上，$y=-2x^2$开口向下，故A、B错误；
当$x＞0$时，$y=2x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2$中$y$随$x$增大而增大，$y=-2x^2$中$y$随$x$增大而减小，故D错误；
三者均关于$y$轴对称，顶点为原点，C正确。
变式训练
(1)
答案：D
解析：
二次函数$y=ax^2$的图象关于$y$轴对称，顶点坐标为$(0,0)$，故D正确；
$y=-3x^2$开口向下，$y=\frac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$开口向上，故A错误；
当$x＜0$时，$y=-3x^2$中$y$随$x$增大而增大，$y=\frac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$中$y$随$x$增大而减小，故B错误；
$y=-3x^2$最高点为原点，$y=\frac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$最低点为原点，故C错误。
变式训练
(2)
答案：D
解析：
抛物线形状由$|a|$决定，开口方向由$a$的符号决定。
$y=mx^2$与$y=-\frac{1}{2}x^2$形状相同，则$|m|=|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$；开口方向相反，则$m=\frac{1}{2}$。