《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

6. 如图,在平面直角坐标系中,直线$y = x + 3与抛物线y = x^{2} + bx + c交于点A$,$B$,点$A在y$轴上,抛物线的对称轴是直线$x = 2$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点$P$,使得$S_{\triangle ABP} = \frac{15}{2}$？若存在,请直接写出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)当$x = 0$时，$y=x + 3=3$，所以$A(0,3)$。
把$A(0,3)$代入$y = x^{2}+bx + c$，得$c = 3$。
因为抛物线对称轴是直线$x = 2$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，这里$a = 1$，所以$-\frac{b}{2×1}=2$，解得$b=-4$。
所以抛物线的解析式为$y=x^{2}-4x + 3$。
(2)联立$\begin{cases}y=x + 3\\y=x^{2}-4x + 3\end{cases}$，$x^{2}-4x + 3=x + 3$，$x^{2}-5x=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=5$。
当$x = 5$时，$y=x + 3=8$，所以$B(5,8)$。
设$P(2,m)$，直线$y=x + 3$与$x = 2$交点为$Q$，当$x = 2$时，$y=x + 3=5$，即$Q(2,5)$。
$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle APQ}+S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}×|m - 5|×(2 - 0)+\frac{1}{2}×|m - 5|×(5 - 2)=\frac{5}{2}|m - 5|$。
由$S_{\triangle ABP}=\frac{15}{2}$，则$\frac{5}{2}|m - 5|=\frac{15}{2}$，$|m - 5|=3$。
当$m-5 = 3$时，$m = 8$；当$m - 5=-3$时，$m = 2$。
所以$P$点坐标为$(2,2)$或$(2,8)$。

7. 如图,二次函数$y = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{3}{2}x - 4的图象与x轴交于A$,$B$两点(点$A在点B$的左侧),与$y轴交于点C$。若点$M$是该二次函数在第四象限内图象上的一点,过点$M作MQ // y轴交BC于点Q$,则线段$MQ$的长的最大值是4。

答案： 4

8. (2024 江苏徐州)如图,$A$,$B为一次函数y = -x + 5的图象与二次函数y = x^{2} + bx + c$的图象的公共点,点$A$,$B的横坐标分别为0$,$4$。$P为二次函数y = x^{2} + bx + c$的图象上的一动点,且位于直线$AB$的下方,连接$PA$,$PB$。
(1)求二次函数表达式中$b$,$c$的值；
(2)求$\triangle PAB$的面积的最大值。

答案：
(1)因为点$A$，$B$的横坐标分别为$0$，$4$，且在$y = -x + 5$上，所以$A(0,5)$，$B(4,1)$。
把$A(0,5)$，$B(4,1)$代入$y = x^{2}+bx + c$得：
$\begin{cases}c = 5\\16 + 4b + c = 1\end{cases}$
将$c = 5$代入$16 + 4b + c = 1$得：$16+4b + 5 = 1$，$4b=-20$，解得$b = - 5$，$c = 5$。
(2)过$P$作$x$轴的平行线交$AB$于$C$，设$P(x,x^{2}-5x + 5)$，由（1）得直线$AB$的解析式为$y=-x + 5$，则$C(x,-x + 5)$。
$PC=(-x + 5)-(x^{2}-5x + 5)=-x^{2}+4x$。
$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PAC}+S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PC\cdot x_{A到AB横坐标差（这里用x坐标相关）}+\frac{1}{2}PC\cdot(4 - x)$
$=\frac{1}{2}PC\cdot4 = 2PC=2(-x^{2}+4x)=-2(x - 2)^{2}+8$。
因为$-1\lt0$，所以当$x = 2$时，$S_{\triangle PAB}$有最大值$8$。
综上，答案为：
(1)$b=-5$，$c = 5$；
(2)$8$。

对于二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $,当 $ y = m $ 时,自变量 $ x $ 的值即为方程 $ ax^{2} + bx + c = m $ 的根。特别地,当 $ y = 0 $ 时的解即为函数图象与 $ x $ 轴的交点的横坐标,当然,交点的情况要由 $ b^{2} - 4ac $ 的符号确定。
思考 一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 与二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的关系是什么？若一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的解为 $ x_{1},x_{2} $,则抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴的交点坐标是什么？

答案： 1. 首先分析一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$与二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的关系：
一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的根就是二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象与$x$轴交点的横坐标。
二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象与$x$轴交点的情况由一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的判别式$\Delta=b^{2}-4ac$决定：
当$\Delta=b^{2}-4ac\gt0$时，方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个不相等的实数根，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴有两个交点；
当$\Delta=b^{2}-4ac = 0$时，方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个相等的实数根，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴有一个交点；
当$\Delta=b^{2}-4ac\lt0$时，方程$ax^{2}+bx + c = 0$没有实数根，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴没有交点。
2. 然后求抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$x$轴的交点坐标：
因为$x$轴上的点纵坐标$y = 0$，已知一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解为$x_{1},x_{2}$，即当$y = 0$时，$x=x_{1}$或$x = x_{2}$。
根据坐标的定义$(x,y)$，所以抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$x$轴的交点坐标是$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$。
综上，一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的根就是二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$图象与$x$轴交点的横坐标；抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$x$轴的交点坐标是$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$。