《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

变式训练 多项式$x^2 - 2x + 5$的最小值是(B)
A.1
B.4
C.6
D.10

答案： B

1.(2023赤峰)用配方法解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$时,配方后正确的是(C)
A.$(x + 2)^2 = 3$
B.$(x + 2)^2 = 17$
C.$(x - 2)^2 = 5$
D.$(x - 2)^2 = 17$

答案： C

2.(2025凉州区一模)已知一元二次方程$x^2 + 6x + 1 = 0配方后可变形为(x + 3)^2 = k$,则$k$的值为(A)
A.8
B.7
C.6
D.5

答案： A

3.填空：
(1)$x^2 + 6x +$9$= (x +$3$)^2$；
(2)$x^2 - \dfrac{1}{4}x +$$\dfrac{1}{64}$$= (x -$$\dfrac{1}{8}$$)^2$；
(3)$4x^2 + 4x +$1$= (2x +$1$)^2$。

答案：
(1)9；3；
(2)$\dfrac{1}{64}$；$\dfrac{1}{8}$；
(3)1；1

4.(常考题)当$m = $±12时,$x^2 + mx + 36$是一个完全平方式。

答案： ±12

5.用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 6x = 1$；(2)$x^2 + 4x - 12 = 0$；
(3)$2x^2 - 4x - 1 = 0$；
(4)$x^2 + 4x - 9 = 2x - 11$。

答案：
(1)
$x^{2}-6x = 1$，
$x^{2}-6x+9 = 1+9$，
$(x - 3)^{2}=10$，
$x - 3=\pm\sqrt{10}$，
$x_{1}=3+\sqrt{10}$，$x_{2}=3 - \sqrt{10}$。
(2)
$x^{2}+4x - 12 = 0$，
$x^{2}+4x=12$，
$x^{2}+4x+4 = 12+4$，
$(x + 2)^{2}=16$，
$x + 2=\pm4$，
$x_{1}=2$，$x_{2}=-6$。
(3)
$2x^{2}-4x - 1 = 0$，
$x^{2}-2x=\frac{1}{2}$，
$x^{2}-2x+1=\frac{1}{2}+1$，
$(x - 1)^{2}=\frac{3}{2}$，
$x - 1=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，
$x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(4)
先将方程$x^{2}+4x - 9 = 2x - 11$化为一般形式：
$x^{2}+4x-2x - 9 + 11 = 0$，
$x^{2}+2x+2 = 0$，
$x^{2}+2x=-2$，
$x^{2}+2x + 1=-2 + 1$，
$(x + 1)^{2}=-1$，
因为$-1\lt0$，所以此方程无实数解。

6.已知等腰$\triangle ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,其中$a$,$b满足a^2 + b^2 = 6a + 12b - 45$,则$\triangle ABC$的周长是15。

答案： 15

7.(探究与实践)我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值,如求代数式$a^2 - 2a + 5$的最小值,方法如下：$a^2 - 2a + 5 = a^2 - 2a + 1 + 4 = (a - 1)^2 + 4$,由$(a - 1)^2 \geq 0$,得$(a - 1)^2 + 4 \geq 4$,故$a^2 - 2a + 5$的最小值为4。
(1)仿照上述方法求代数式$x^2 + 10x + 7$的最小值；
(2)代数式$-a^2 - 8a + 16$有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值。

答案：
(1) $x^2 + 10x + 7$
$=x^2 + 10x + 25 - 25 + 7$
$=(x + 5)^2 - 18$
$\because (x + 5)^2 \geq 0$
$\therefore (x + 5)^2 - 18 \geq -18$
$\therefore$代数式$x^2 + 10x + 7$的最小值为$-18$。
(2) $-a^2 - 8a + 16$
$=-(a^2 + 8a) + 16$
$=-(a^2 + 8a + 16 - 16) + 16$
$=-[(a + 4)^2 - 16] + 16$
$=-(a + 4)^2 + 16 + 16$
$=-(a + 4)^2 + 32$
$\because (a + 4)^2 \geq 0$
$\therefore -(a + 4)^2 \leq 0$
$\therefore -(a + 4)^2 + 32 \leq 32$
$\therefore$代数式$-a^2 - 8a + 16$有最大值，最大值为$32$。