《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

变式训练 (1)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 2x - 4k = 0 $ 有两个相等的实数根,则 $ k = $$-\frac{1}{4}$。
(2)(2024 静安三模)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + 2x + 1 = 0 $ 有实数根,则 $ a $ 的取值范围是(B)
A. $ a \leq 1 $
B. $ a \leq 1 $ 且 $ a \neq 0 $
C. $ a $ 取一切实数
D. $ a ＜ 1 $

答案：
(1) $-\frac{1}{4}$；
(2) B。

1. (2025 石家庄模拟)一元二次方程 $ x^{2} + 2x - 5 = 0 $ 的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根

答案： A

2. (2024 黑龙江)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 2)x^{2} + 4x + 2 = 0 $ 有两个实数根,则 $ m $ 的取值范围是(D)
A.$ m \leq 4 $
B.$ m \geq -4 $ 且 $ m \neq 2 $
C.$ m \geq 4 $
D.$ m \leq 4 $ 且 $ m \neq 2 $

答案： D

3. 用公式法解关于 $ x $ 的一元二次方程,得 $ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 × 3 × 1}}{2 × 3} $,则该一元二次方程是$3x^{2}+5x + 1 = 0$。

答案： $3x^{2}+5x + 1 = 0$

4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2} - 4x + 2 = 0 $($ m $ 为实数)有两个实数根,则 $ m $ 的取值范围是$m\leq 3$且$m\ne 1$（或写成$m\in (-\infty ,1)\cup (1,3]$）。

答案： $m\leq 3$且$m\ne 1$（或写成$m\in (-\infty ,1)\cup (1,3]$）。

5. 不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况：
(1) $ 3x^{2} - 2x - 1 = 0 $；(2) $ 4x - x^{2} = x^{2} + 2 $；(3) $ 3x - 3 = 2x^{2} $。

答案：
(1) 对于方程 $3x^{2} - 2x - 1 = 0$：
$a = 3,b = - 2,c = - 1$，
$\Delta=b^2-4ac$
$= (-2)^2 - 4 × 3 × (-1) $
$= 4 + 12 $
$= 16$
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程 $4x - x^{2} = x^{2} + 2$，整理得：
$2x^{2} - 4x + 2 = 0$，
$a = 2,b = - 4,c = 2$，
$\Delta=b^2-4ac$
$= (-4)^2 - 4 × 2 × 2 $
$= 16 - 16 $
$= 0$
因为 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根。
(3) 对于方程 $3x - 3 = 2x^{2}$，整理得：
$2x^{2} - 3x + 3 = 0$，
$a = 2,b = - 3,c = 3$，
$\Delta=b^2-4ac$
$= (-3)^2 - 4 × 2 × 3 $
$= 9 - 24 $
$= -15$
因为 $\Delta ＜ 0$，所以方程无实数根。

6. 用公式法解下列方程：
(1) $ x^{2} - 3x - 5 = 0 $；(2) $ 3x^{2} - 5x = 4 $；(3) $ 2x^{2} - 3x = 0 $；(4) $ 2x^{2} - 5x - 1 = 0 $；(5) $ y^{2} + 2 = 2\sqrt{2}y $；(6) $ (x + 1)(x - 1) = 2\sqrt{2}x $。

答案：
(1)
对于方程 $x^{2} - 3x - 5 = 0$，
$a = 1, b = -3, c = -5$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4×1×(-5) = 9 + 20 = 29$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$，
$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$，$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$。
(2)
对于方程 $3x^{2} - 5x = 4$，移项得 $3x^{2} - 5x - 4 = 0$，
$a = 3, b = -5, c = -4$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4×3×(-4) = 25 + 48 = 73$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{6}$，
$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{73}}{6}$，$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{73}}{6}$。
(3)
对于方程 $2x^{2} - 3x = 0$，
$a = 2, b = -3, c = 0$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4×2×0 = 9$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 3}{4}$，
$x_{1} = 0$，$x_{2} = \frac{3}{2}$（或$1.5$）。
(4)
对于方程 $2x^{2} - 5x - 1 = 0$，
$a = 2, b = -5, c = -1$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4×2×(-1) = 25 + 8 = 33$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$，
$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{33}}{4}$，$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{33}}{4}$。
(5)
对于方程 $y^{2} + 2 = 2\sqrt{2}y$，移项得 $y^{2} - 2\sqrt{2}y + 2 = 0$，
$a = 1, b = -2\sqrt{2}, c = 2$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4×1×2 = 8 - 8 = 0$，
$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm 0}{2} = \sqrt{2}$，
$y_{1} = y_{2} = \sqrt{2}$。
(6)
对于方程 $(x + 1)(x - 1) = 2\sqrt{2}x$，展开得 $x^{2} - 1 = 2\sqrt{2}x$，移项得 $x^{2} - 2\sqrt{2}x - 1 = 0$，
$a = 1, b = -2\sqrt{2}, c = -1$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4×1×(-1) = 8 + 4 = 12$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \pm \sqrt{3}$，
$x_{1} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$，$x_{2} = \sqrt{2} - \sqrt{3}$。