《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. 把一个平面图形绕着平面内某一点 $O$ 转动一个角度,叫做图形的旋转。

答案： 旋转

2. 图形旋转的性质：旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

答案： 全等；相等；旋转角

思考 旋转的三个要素是什么？旋转中心、旋转方向、旋转角度
练习(1)如果图形上的点 $P$ 经过旋转变为点 $P'$,那么这两点叫做这个旋转的对应点。
(2)如图,$\triangle ABC$ 绕着点 $O$ 旋转到 $\triangle DEF$ 的位置,则旋转中心是点O,旋转角是∠AOD（或∠BOE或∠COF）,$AO= $DO,$AB= $DE,$\angle ACB= $∠DFE。

答案： 思考：旋转中心、旋转方向、旋转角度；
(1)对应点；
(2)点O；∠AOD（或∠BOE或∠COF）；DO；DE；∠DFE

探究一 旋转的概念
例 1 如图 1,$\triangle ABC$ 为等边三角形,$D$ 为 $\triangle ABC$ 内一点,$\triangle ABD$ 经过旋转后到达 $\triangle ACP$ 的位置,则：(1)旋转中心是点$A$；(2)旋转角度是$60°$；(3)$\triangle ADP$ 是等边三角形。
名师导引 对应点与旋转中心所连线段的夹角为旋转角,找准旋转角是解决问题的关键。

答案：
(1)点$A$；
(2)$60°$；
(3)等边

变式训练(1)如图 2,$\triangle AOB$ 旋转到 $\triangle A'OB'$ 的位置。$\angle AOA' = 90^{\circ}$,则旋转中心是点O,旋转角是90°。点 $A$ 的对应点是A',线段 $AB$ 的对应线段是A'B',$\angle B$ 的对应角是∠B',$\angle BOB' = $90°。
(2)如图 3,$\triangle ABC$ 与 $\triangle ADE$ 都是等腰直角三角形,$\angle C$ 和 $\angle AED$ 都是直角,点 $E$ 在 $AB$ 上,如果 $\triangle ABC$ 经旋转后能与 $\triangle ADE$ 重合,那么旋转中心是点A,旋转的度数是45°。

答案：
(1) O；90°；A'；A'B'；∠B'；90°
(2) A；45°

探究二 旋转的性质
例 2(2024 巴南区阶段练习改编)如图,$Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$,$\angle ABC = \alpha$,将 $Rt\triangle ABC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $Rt\triangle EDC$,点 $A$ 的对应点 $E$ 正好落在 $BC$ 上,连接 $BD$,则 $\angle CBD$ 的度数是45°+α/2。

名师导引 注意运用旋转的性质：旋转前后的三角形全等,即旋转前后的三角形对应线段相等,对应角相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角相等。

答案： 45°+α/2