《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x - 6 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}=$2,$x_{1}x_{2}=$-6。

答案： $2$；$-6$（两个答案依次填写）

4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-3cx - c + 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,若 $x_{1}x_{2}= 2$,则 $x_{1}+x_{2}= $-3。

答案： -3

5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x + m = 0$。
(1)若方程有两个实数根,求 $m$ 的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,且 $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}= 1$,求 $m$ 的值。

答案： 答题卡：
(1) 对于方程 $x^{2} - 4x + m = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$，
其中，$a = 1, b = -4, c = m$。
代入得：
$\Delta = (-4)^{2} - 4(1)(m) = 16 - 4m$，
由于方程有两个实数根，所以：
$\Delta \geq 0$，
即：
$16 - 4m \geq 0$，
解得：
$m \leq 4$。
(2) 根据一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 4$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = m$，
代入给定的条件 $x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} = 1$，得：
$4 + m = 1$，
解得：
$m = -3$。

6. (2024 安庆期中)关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6kx + 5k^{2}= 0$。
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根为 $x_{1}$,$x_{2}$,满足 $x_{1}-x_{2}= 4$,求 $k$ 的值。

答案： （1）证明：
对于一元二次方程$x^{2} - 6kx + 5k^{2} = 0$，
其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
$= (-6k)^{2} - 4 × 1 × 5k^{2}$
$= 36k^{2} - 20k^{2}$
$= 16k^{2}$
由于$k^{2} \geq 0$，所以$\Delta = 16k^{2} \geq 0$，
因此，该方程总有两个实数根。
（2）由一元二次方程的根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = 6k$，
$x_{1}x_{2} = 5k^{2}$，
又因为$x_{1} - x_{2} = 4$，
将$x_{1} - x_{2} = 4$两边平方，得到：
$(x_{1} - x_{2})^{2} = 16$，
即$x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} = 16$，
利用完全平方公式，有：
$(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2} = (x_{1} - x_{2})^{2}$，
代入已知条件，得：
$(6k)^{2} - 4 × 5k^{2} = 16$，
$36k^{2} - 20k^{2} = 16$，
$16k^{2} = 16$，
$k^{2} = 1$，
解得：$k = \pm 1$。
所以$k$的值为$\pm 1$。

7. (2024 东莞模拟)若 $m$,$n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x - 1 = 0$ 的两个实数根,则 $m^{2}+4m + 2n$ 的值是$-3$。

答案： $-3$。

列方程解实际问题的实质是把实际问题转化为数学问题,注意对得出的结果进行检验,一看是不是原方程的解,二看是否具有实际意义。

答案： 实际 、 数学

思考 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？

答案： 无（此题为简答题，无选项内容）。

练习(1)某种病毒由一个分裂成了若干个病毒,一定时间后每个病毒又分裂成同样数目的病毒,此时所有病毒数目的总和是 144 个,则每个病毒一次可分裂成11个病毒。
(2)某校组织羽毛球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了 45 场比赛,则有10支羽毛球球队参加比赛。

答案： 11；10