《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

4. (2024 东昌府二模)如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点坐标是 $ ( 1,m ) $,若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c - 4 = 0 $ 无实数根,则 $ m $ 的取值范围是$m＜4$。

答案： $m\lt4$（填写为 $m ＜ 4$ 的形式，根据要求这里填 $m＜4$ 对应的答案形式，本题是填空形式，按规则写答案）
$m ＜ 4$

5. 如图,矩形花圃 $ ABCD $ 的一边靠墙(墙足够长),其他三边用 16m 长的篱笆围成,这个花圃的最大面积是32$ m^{2} $。

答案： 32

6. (2024 湖南模拟)某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行调查发现,当柑橘的销售单价为每件 25 元时,每天的销售量为 50 件,销售单价每提高 1 元,每天的销售量就减少 2 件。
(1)用适当的函数表示该柑橘的销售量 $ y $(件)与销售单价 $ x $(元/件)之间的关系,其中 $ x \geq 25 $；
(2)已知柑橘的进货价格为每件 20 元,当柑橘的销售单价定为多少元/件时,该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？

答案：
(1)
根据题意，当销售单价为$25$元时，销售量为$50$件，销售单价每提高$1$元，销售量减少$2$件。
设销售单价为$x$元，销售量为$y$件，则有：
$y = 50 - 2(x - 25)$，
化简得：
$y = -2x + 100$，
其中$x \geq 25$。
(2)
设销售单价为$x$元时，每天获得的利润为$w$元。
进货价格为每件$20$元，销售量为$-2x + 100$件，因此利润函数为：
$w = (x - 20)(-2x + 100)$，
展开得：
$w = -2x^2 + 140x - 2000$，
进一步化简为顶点式：
$w = -2(x - 35)^2 + 450$，
由于二次项系数为负，函数开口向下，因此当$x = 35$时，$w$取得最大值，即$450$元。
答：当柑橘的销售单价定为$35$元/件时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润是$450$元。

7. 如图,已知二次函数 $ y = mx^{2} + 3mx - \frac{27}{4}m $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),顶点 $ D $ 和点 $ B $ 关于过点 $ A $ 的直线 $ l:y = - \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{3\sqrt{3}}{2} $ 对称。
将二次函数的图象向右平移 $ \frac{3}{2} $ 个单位,再向上平移 $ 3\sqrt{3} $ 个单位。平移后的二次函数的图象上存在一点 $ M $,其横坐标为 3,在 $ y $ 轴上是否存在点 $ F $,使得 $ \angle MAF = 45^{\circ} $？若存在,请求出点 $ F $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 存在，$ F $的坐标为$ \left(0, \frac{180\sqrt{3}+333}{26}\right) $或$ \left(0, \frac{180\sqrt{3}-333}{26}\right) $。