《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. (2024 大庆期中)如图,AB 是⊙O 的直径,$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{DE}$,若∠COD = $36^{\circ}$,则∠AOE = (C)
A.$72.5^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$73^{\circ}$

答案： C

2. (2024 上海阶段练习)下列命题中,正确的是(A)
A.相等的弧所对的圆心角相等
B.圆心到弦的距离相等,则这两条弦相等
C.相等的圆心角所对的弦相等
D.同圆中,如果两条弦相等,那么两条弦所对的弧相等

答案： A

3. (2024 西安模拟)如图,AB,CD 是⊙O 的弦,且 AB = CD,若∠BOD = $84^{\circ}$,则∠ACO = (D)

A.$42^{\circ}$
B.$44^{\circ}$
C.$46^{\circ}$
D.$48^{\circ}$

答案： D

4. (2024 合肥阶段练习)如图,在⊙O 中,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AC}$,∠A = $36^{\circ}$,则∠B = (C)

A.$63^{\circ}$
B.$68^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$76^{\circ}$

答案： C

5. (2023 潍坊期中)如图,在⊙O 中,∠A = $30^{\circ}$,劣弧 AB 的度数是120$^{\circ}$.

答案： 120

6. (2023 延边阶段练习改编)如图,在⊙O 中,AB,CD 是两条直径,弦 CE // AB,若$\overset{\frown}{EC}$所对的圆心角的度数是 $40^{\circ}$,求∠BOD 的度数.

答案： 连接OE。
∵$\overset{\frown}{EC}$所对的圆心角的度数是$40^{\circ}$，
∴∠COE=$40^{\circ}$。
∵OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC。
∵∠COE+∠OCE+∠OEC=$180^{\circ}$，
∴∠OCE=$\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
∵CE//AB，
∴∠AOC=∠OCE=$70^{\circ}$。
∵AB是直径，
∴∠AOB=$180^{\circ}$。
∵CD是直径，
∴∠COD=$180^{\circ}$。
∵∠AOC+∠BOC=$180^{\circ}$，∠BOD+∠BOC=$180^{\circ}$，
∴∠BOD=∠AOC=$70^{\circ}$。
答：∠BOD的度数为$70^{\circ}$。

新知梳理
1. 圆周角的定义：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
思考 满足哪两个条件的角叫圆周角？顶点在圆上，并且两边都与圆相交。
2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
思考(1)证明圆周角定理为什么要分三种情况？因为圆心与圆周角的位置关系有三种：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部；(2)同圆或等圆中,两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦中若有一组量相等,相对应的其余各组量有什么关系？它们所对应的其余各组量也分别相等。
3. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
思考 圆内接四边形的一个外角与它相邻内角的对角的数量关系是什么？相等。

答案： 1. 圆；相交；顶点在圆上，并且两边都与圆相交。2. 一半；
(1)因为圆心与圆周角的位置关系有三种：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部；
(2)它们所对应的其余各组量也分别相等。3. 相等。