《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

例1 (2023通辽中考改编)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE,旋转角为α(0°＜α＜180°),点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD= 24°,则旋转角α的度数为48°。

名师导引 利用旋转的性质解决问题时,要抓住旋转角、对应线段、对应角相等的性质,尤其要注意当旋转角或者对应角为60°时容易形成等边三角形。

答案： 由题意知，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，
根据旋转的性质，有$AB = AD$，$\angle BAC = \angle DAE$，
因为$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD$，$\angle DAE = \angle DAE（自身）$，
所以，$\angle BAD = \angle DAE - \angle CAD = \alpha - 24°$（其中$\alpha$为旋转角），
由于$AB = AD$，根据等腰三角形的性质，有$\angle B = \angle ADB$，
在$\triangle ABD$中，根据三角形内角和为$180°$，
有$\angle B + \angle ADB + \angle BAD = 180°$，
代入$\angle B = \angle ADB$和$\angle BAD = \alpha - 24°$，
得$2\angle B + \alpha - 24° = 180°$，
即$\angle B = 102° - \frac{\alpha}{2}$，
因为$DE \perp AC$，
所以，$\angle E = 90° - \angle CAD = 66°$，
由于$\angle ADE = \angle B$（旋转性质），
所以，$\angle ADE = 102° - \frac{\alpha}{2}$，
在$\triangle ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，
有$\angle ADE + \angle E + \angle DAE = 180°$，
代入$\angle ADE = 102° - \frac{\alpha}{2}$，$\angle E = 66°$，$\angle DAE = \alpha$，
得$102° - \frac{\alpha}{2} + 66° + \alpha = 180°$，
解得$\alpha = 24 × 2 = 48°$。
故答案为$48$。

巩固提升 (2024无锡中考)如图,在△ABC中,∠B= 80°,∠C= 65°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'。当AB'落在AC时,∠BAC'= (B)

A.65°
B.70°
C.80°
D.85°

答案： B

例2 (1)(2023大庆中考)下列图标中,其文字上方的图案是中心对称图形的是(C)

(2)(2023泰安中考)小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线,得到如下四种图形,则既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(C)

名师导引 识别中心对称图形可以从以下两方面着手：(1)基本图形的个数是偶数；(2)相对的两个基本图形的对称点在一条过对称中心点的直线上,且对称点到对称中心的距离相等。

答案：
(1)C；
(2)C

巩固提升 (2023齐齐哈尔中考)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(D)

A.
B.
C.
D.

答案： D

例3 (2024丰都期末)点M(a - 1,-3)关于原点对称的点是N(2,b + 1),则a + b的值是1。
名师导引 若两个点关于原点对称,则它们的坐标符号相反。

答案： 1（这里按题目要求应填数值，若为填空题形式此为答案）

巩固提升 (2024海南期中)点P(-3,-1)关于x轴对称的点的坐标是(-3,1),关于y轴对称的点的坐标是(3,-1),关于原点对称的点的坐标是(3,1)。

答案： $(-3,1)$，$(3,-1)$，$(3,1)$

例4 (2024无锡期中)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-1,0),B(-2,-2),C(-3,-1)。按要求画图和答题：
(1)以点A为旋转中心,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到图形$△AB_1C_1,$画出$△AB_1C_1。$
(2)画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的$△A_2B_2C_2。$
(3)若$△A_2B_2C_2$可看作是由$△AB_1C_1$旋转得来,则旋转中心坐标为______。

(1) 画图略（△AB₁C₁顶点坐标：A(-1,0)，B₁(-3,1)，C₁(-2,2)）。
(2) 画图略（△A₂B₂C₂顶点坐标：A₂(1,0)，B₂(2,2)，C₂(3,1)）。
(3)(0,-1)

答案：
(1) 画图略（△AB₁C₁顶点坐标：A(-1,0)，B₁(-3,1)，C₁(-2,2)）。
(2) 画图略（△A₂B₂C₂顶点坐标：A₂(1,0)，B₂(2,2)，C₂(3,1)）。
(3) (0,-1)