《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

例1 如图,已知⊙O的弦AB= 3,点C在⊙O上,且∠ACB= 60°,求⊙O的直径的长。

名师导引 在解决与直径有关的问题时,常常添加辅助线构造“直径所对的圆周角是直角”；同圆或等圆中,注意圆心角、圆周角、弧、弦之间的等量关系可以相互转化。

答案： 答：连接OA、OC，过点O作OD⊥AB于点D。
因为OA = OC，∠ACB = 60°，所以∠AOB = 2∠ACB = 120°。
又因为OA = OB，OD⊥AB，所以∠AOD = ∠BOD = 60°，AD=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}。
在Rt△AOD中，OA=\frac{AD}{\sin60°}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}。
所以⊙O的直径为2OA = \sqrt{3}×2=\2\sqrt{3}（或$2\sqrt{3}$）。

变式训练(2023营口中考)如图,AD是⊙O的直径,弦BC交AD于点E,若∠BAD= 30°,则∠ACB= (D)

A.50°
B.40°
C.70°
D.60°

答案： D

例2 如图,已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于点D,交BC于点E,连接ED.若ED= EC,求证：AB= AC.

名师导引 注意“对角互补的四边形的一个外角等于它的内对角”的推理过程及其运用。

答案： 证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴点A、B、D、E在⊙O上，即四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE + ∠B = 180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠ADE + ∠EDC = 180°（平角定义），
∴∠EDC = ∠B（同角的补角相等）。
∵ED = EC（已知），
∴∠EDC = ∠C（等边对等角）。
∴∠B = ∠C（等量代换）。
∴AB = AC（等角对等边）。

变式训练(2023赤峰中考)如图,⊙O内接四边形ABCD中,∠BCD= 105°,∠BOC= 2∠COD,则∠CBD= (A)
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°

答案： A

1.(2024湖南中考)如图,AB,AC为⊙O的两条弦,连接OB,OC,若∠A= 45°,则∠BOC= (C)

A.60°
B.75°
C.90°
D.135°

答案： C

2.(2024甘肃中考)如图,点A,B,C在⊙O上,AC⊥OB,垂足为D,若∠A= 35°,则∠C= (A)

A.20°
B.25°
C.30°
D.35°

答案： A