《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

4. (2024海淀期中)已知$\odot O的半径为3$,线段$AB= 2$,若$\odot O与线段AB$有两个交点,则点$O到直线AB的距离d$的取值范围是$2\sqrt{2}\leq d\lt3$.

答案： $2\sqrt{2}\leq d\lt3$

5. (2023东莞一模)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$AB= 3$,$BC= 4$. 当$\odot B与直线AC$相切时,$\odot B的半径r= $$\frac{12}{5}$.

答案： $\frac{12}{5}$

6. (2023随州期中)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 6$,$BC= 8$,以点$C为圆心所作的圆与边AB$仅有一个交点,则$\odot C的半径r$的取值范围为$r=\frac{24}{5}$或$6 ＜ r \leq 8$.

答案： $r=\frac{24}{5}$或$6 ＜ r \leq 8$

1. 圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2. 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
思考 判定一条直线是圆的切线有哪几种方法？圆的切线有哪些性质？
判定方法：①定义法；②数量关系法；③判定定理。性质：①唯一公共点；②距离等于半径；③垂直于过切点的半径。

答案： 1. 外端；垂直 2. 垂直于；半径 思考：判定方法：①定义法；②数量关系法；③判定定理。性质：①唯一公共点；②距离等于半径；③垂直于过切点的半径。

例 1 (2024 镇江中考)如图,将△ABC 沿过点 A 的直线翻折并展开,点 C 的对应点 C'落在边 AB 上,折痕为 AD,点 O 在边 AB 上,⊙O 经过点 A,D。若∠ACB = 90°,判断 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由。

名师导引 证明某直线是圆的切线的常用思路：如果已知直线过圆上的一点,则作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径；如果直线和圆的公共点不确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径。

答案： 解：$BC$是$\odot O$的切线，理由如下：
连接$OD$。
由折叠可知，$\angle CAD = \angle BAD$，
因为$OA = OD$，
所以$\angle BAD = \angle ADO$，
所以$\angle CAD = \angle ADO$，
所以$OD// AC$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，
所以$\angle ODB = \angle ACB = 90^{\circ}$，
即$OD\perp BC$。
又$OD$为$\odot O$的半径，
所以 $BC$是$\odot O$的切线。

变式训练 如图,P 是∠BAC 的平分线上一点,PD⊥AC,垂足为 D,AB 与以 P 为圆心,PD 的长为半径的圆相切吗？请说明理由。

答案： AB与以P为圆心，PD的长为半径的圆相切。
理由：过点P作PE⊥AB于点E。
∵AP平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴PE=PD。
∵PD是圆P的半径，
∴PE是圆P的半径。
∵PE⊥AB，
∴AB与圆P相切。

例 2 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P,连接 AC,若∠A = 30°,PC = 3,则 BP 的长为$\sqrt{3}$。
名师导引 在运用圆的切线的性质定理时,常常作连接圆心和切点的辅助线,得到半径,这条半径垂直于切线。

答案： $\sqrt{3}$（题目要求是填空题，若转化为选择题形式，本题无选项，此处按要求应填结果相关内容，由于是填空题答案，按要求格式这里应填具体数值答案）。