《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

巩固提升 如图是二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 图象的一部分,对称轴为直线 $ x = 1 $,则下列结论中正确的是(A)
A.$ 8a + c ＜ 0 $
B.$ abc ＞ 0 $
C.当 $ - 1 ＜ x ＜ 2 $ 时,$ y \geq 0 $
D.若 $ ( - 2,y_{1} ) $,$ \left( \frac{1}{2},y_{2} \right) $,$ ( 3,y_{3} ) $ 在该函数的图象上,则 $ y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2} $

答案： A

例 4(2024 禄丰二模)某乡镇帮扶贫困户销售某种农产品,成本为 8 元/千克,每天销量 $ y $(千克)与销售单价 $ x $(元/千克)之间存在一次函数关系,如图所示。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并写出 $ x $ 的取值范围；
(2)如果规定每天农产品的销量不低于 120 千克,当销售单价为多少元/千克时,每天获取的利润最大,最大利润是多少？

名师导引 (1)利用待定系数法求解函数解析式；(2)由总利润等于每千克的利润乘以销售量建立二次函数关系式,通常利用配方法及二次函数的性质求最值。

答案：
(1)设$ y $与$ x $之间的函数关系式为$ y=kx+b $，由图像可知函数过点$ (10,200) $和$ (15,150) $，代入得：
$\begin{cases}10k+b=200 \\15k+b=150\end{cases}$
解得$ k=-10 $，$ b=300 $，故$ y=-10x+300 $。
由$ y\geq0 $且$ x\geq8 $（成本价），得$ -10x+300\geq0 \Rightarrow x\leq30 $，所以$ x $的取值范围为$ 8\leq x\leq30 $。
(2)由销量不低于120千克，得$ -10x+300\geq120 \Rightarrow x\leq18 $，故$ 8\leq x\leq18 $。
利润$ W=(x-8)y=(x-8)(-10x+300)=-10x^2+380x-2400 $，
对称轴为$ x=-\frac{380}{2×(-10)}=19 $，
因$ a=-10＜0 $，函数开口向下，在$ 8\leq x\leq18 $上单调递增，
当$ x=18 $时，$ W_{max}=(18-8)(-10×18+300)=10×120=1200 $。
(1)$ y=-10x+300(8\leq x\leq30) $；
(2)销售单价为18元/千克时，最大利润1200元。

巩固提升(2024 双柏县三模)某主题公园成为网红打卡地后,该公园开始售卖主题雪糕,每根成本价为 3 元,经调查,每天的销售量 $ y $(根)与每根的售价 $ x $(元)之间的函数关系式如图。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
(2)设每天的总利润为 $ w $(元),若每根雪糕的售价为整数,则售价定为多少元时,获利最大？最大利润是多少？

答案：
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为 $ y = kx + b $。由图像可知，直线过点 $ (8, 80) $ 和 $ (10, 60) $，代入得：
$\begin{cases} 80 = 8k + b \\ 60 = 10k + b \end{cases}$
解得 $ k = -10 $，$ b = 160 $。
故函数关系式为 $ y = -10x + 160 $。
(2) 由题意，总利润 $ w = (x - 3)y = (x - 3)(-10x + 160) $，整理得：
$w = -10x^2 + 190x - 480$
此二次函数对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} = \frac{190}{20} = 9.5 $。
因 $ x $ 为整数，故当 $ x = 9 $ 或 $ x = 10 $ 时，$ w $ 取最大值。
当 $ x = 9 $ 时，$ w = (9 - 3)(-10 × 9 + 160) = 6 × 70 = 420 $；
当 $ x = 10 $ 时，$ w = (10 - 3)(-10 × 10 + 160) = 7 × 60 = 420 $。
答：售价定为9元或10元时，获利最大，最大利润是420元。

例 5(2024 牡丹二模)如图,直线 $ y = - \frac{2}{3}x + 4 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,抛物线 $ y = ax^{2} + \frac{10}{3}x + c $ 经过 $ B $,$ C $ 两点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 $ E $ 是直线 $ BC $ 上方抛物线上的动点,当 $ \triangle BEC $ 面积最大时,求点 $ E $ 的坐标；
(3)在(2)的结论下,过点 $ E $ 作 $ y $ 轴的平行线交直线 $ BC $ 于点 $ M $,连接 $ AM $,点 $ Q $ 是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点 $ P $,使以 $ P,Q,A,M $ 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标；如果不存在,请说明理由。
名师导引 本题要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系,并能根据平行四边形的点的平移规律求点的坐标。

答案：
(1)
直线$y=-\frac{2}{3}x+4$与$y$轴交于$B(0,4)$，与$x$轴交于$C(6,0)$。
抛物线$y=ax^2+\frac{10}{3}x+c$过$B$、$C$两点，
将$B(0,4)$代入得$c=4$；
将$C(6,0)$代入得$0=36a+\frac{10}{3}×6+4$，解得$a=-\frac{2}{3}$。
故抛物线解析式为$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{10}{3}x+4$。
(2)
设$E(x,-\frac{2}{3}x^2+\frac{10}{3}x+4)$，过$E$作$y$轴平行线交$BC$于$F(x,-\frac{2}{3}x+4)$。
$EF=(-\frac{2}{3}x^2+\frac{10}{3}x+4)-(-\frac{2}{3}x+4)=-\frac{2}{3}x^2+4x$。
$S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}× EF×6=-2x^2+12x$（$6$为$B$、$C$横坐标差的绝对值）。
当$x=3$时，$S_{\triangle BEC}$最大，此时$E(3,8)$。
(3)
$E(3,8)$，过$E$作$y$轴平行线交$BC$于$M(3,2)$；抛物线与$x$轴交于$A(-1,0)$、$C(6,0)$，对称轴$x=\frac{5}{2}$，设$Q(\frac{5}{2},t)$，$P(p,-\frac{2}{3}p^2+\frac{10}{3}p+4)$。
情况1：$A$、$M$为对角线
中点坐标：$\left(1,1\right)$，则$\frac{p+\frac{5}{2}}{2}=1$，$\frac{q+t}{2}=1$，解得$p=-\frac{1}{2}$，$q=\frac{13}{6}$，$P(-\frac{1}{2},\frac{13}{6})$。
情况2：$A$、$Q$为对角线
中点坐标：$\left(\frac{3}{4},\frac{t}{2}\right)$，则$\frac{p+3}{2}=\frac{3}{4}$，$\frac{q+2}{2}=\frac{t}{2}$，解得$p=-\frac{3}{2}$，$q=-\frac{5}{2}$，$P(-\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$。
情况3：$A$、$P$为对角线
中点坐标：$\left(\frac{-1+p}{2},\frac{q}{2}\right)$，则$\frac{\frac{5}{2}+3}{2}=\frac{-1+p}{2}$，$\frac{t+2}{2}=\frac{q}{2}$，解得$p=\frac{13}{2}$，$q=-\frac{5}{2}$，$P(\frac{13}{2},-\frac{5}{2})$。
存在点$P$，坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{13}{6})$，$(-\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$，$(\frac{13}{2},-\frac{5}{2})$。
答案
(1)$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{10}{3}x+4$；
(2)$(3,8)$；
(3)$(-\frac{1}{2},\frac{13}{6})$，$(-\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$，$(\frac{13}{2},-\frac{5}{2})$。