《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

6. 如图,抛物线 $ y = a(x + 1)^2 $ 的顶点为 $ A $,与 $ y $ 轴的负半轴交于点 $ B $,且 $ OB = OA $。
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 若点 $ C(-3, b) $ 在该抛物线上,求 $ S_{\triangle ABC} $ 的值。

答案：
(1)$y=-(x+1)^2$；
(2)$3$。

7. (2024 南康模拟) 已知函数 $ y_1 = a(x - 1)^2 $,$ y_2 = a(x - 2)^2 $,$ y_3 = a(x - 3)^2 $,且 $ a ＞ 0 $。直线 $ x = m $ 的图象与函数 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的图象分别交于点 $ A(m, c_1) $,$ B(m, c_2) $,$ C(m, c_3) $,下列说法正确的是(D)
A.若 $ m ＜ 1 $,则 $ c_2 ＜ c_3 ＜ c_1 $
B.若 $ 1 ＜ m ＜ 2 $,则 $ c_1 ＜ c_2 ＜ c_3 $
C.若 $ 2 ＜ m ＜ 3 $,则 $ c_3 ＜ c_2 ＜ c_1 $
D.若 $ m ＞ 3 $,则 $ c_3 ＜ c_2 ＜ c_1 $

答案： D

8. 如图,二次函数 $ y = (x + 4)^2 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $。
(1) 求点 $ A $,$ B $ 的坐标；
(2) 求该抛物线的对称轴；
(3) 平面直角坐标系内是否存在一点 $ P $,使以 $ P $,$ A $,$ O $,$ B $ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)A(-4,0)，B(0,16)；
(2)直线x=-4；
(3)存在，P(-4,-16)或(4,16)或(-4,16)。

二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象仍是一条抛物线,顶点坐标是$(h,k)$,对称轴是直线$x = h$,它与二次函数 $ y = ax^2 $ 图象的形状大小、开口方向完全相同,只是位置发生了移动。将二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象先通过上下移动 $ |k| $ 个单位长度,得到函数$ y = ax^{2}+k $的图象,再通过左右平移 $ |h| $ 个单位长度得到函数$ y=a(x - h)^{2}+k $的图象。

答案： 1. 首先明确二次函数$y = a(x - h)^{2}+k$的图象性质：
二次函数$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$的图象仍是一条抛物线。
根据顶点式$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$，其顶点坐标是$(h,k)$。
对称轴是直线$x = h$。
2. 然后根据函数图象平移规律（上加下减常数项，左加右减自变量）：
将二次函数$y = ax^{2}$的图象先通过上下移动$\vert k\vert$个单位长度：
当$k\gt0$时，向上平移$k$个单位，得到$y = ax^{2}+k$；当$k\lt0$时，向下平移$\vert k\vert$个单位，得到$y = ax^{2}+k$（因为$y = ax^{2}-(-k)=ax^{2}+k$），所以得到函数$y = ax^{2}+k$的图象。
再将$y = ax^{2}+k$的图象通过左右平移$\vert h\vert$个单位长度：
当$h\gt0$时，向右平移$h$个单位，根据“左加右减自变量”，把$x$变为$x - h$，得到$y=a(x - h)^{2}+k$；当$h\lt0$时，向左平移$\vert h\vert$个单位，把$x$变为$x-(-\vert h\vert)=x - h$（因为$h\lt0$，$\vert h\vert=-h$），得到$y=a(x - h)^{2}+k$。
故答案依次为：抛物线；$(h,k)$；$x = h$；$y = ax^{2}+k$；$y=a(x - h)^{2}+k$。

思考
(1) 画二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象时,一般要取哪几个关键点？
(2) 如何确定抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标？

答案：
(1)顶点(h,k)，与y轴交点，关于对称轴对称的点；
(2)令y=0解方程a(x-h)²+k=0得横坐标，纵坐标为0。