《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. (2023 定远期末)抛物线 $ y = x^{2} $ 的对称轴是(D)
A.直线 $ x = -1 $
B.直线 $ x = 1 $
C.$ x $ 轴
D.$ y $ 轴

答案： D

2. (2023 莫旗期末)对于抛物线 $ y = -3x^{2} $,下列说法不正确的是(B)
A.图象的开口向下
B.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.顶点坐标为 $ (0,0) $
D.对称轴为 $ y $ 轴

答案： B

3. 二次函数 $ y = 4x^{2} $ 的图象是抛物线,它的开口向上,且关于$y$轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最低点。当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： 抛物线，上，$y$轴，顶点，低，减小，增大。

4. 如图,$ A $,$ B $ 为抛物线 $ y = x^{2} $ 上两点,且线段 $ AB \perp y $ 轴。若 $ AB = 6 $,则点 $ A $ 的坐标为$(-3,9)$或$(3,9)$。

答案： 设点$A$的坐标为$(-m, n)$，因为$AB \perp y$轴，且抛物线$y = x^{2}$关于$y$轴对称，所以点$B$的坐标为$(m, n)$。
由于$AB = 6$，根据两点间距离公式（横坐标之差的绝对值，因为纵坐标相同），有$\vert m - (-m)\vert = 6$，即$2m = 6$，解得$m = 3$。
又因为点$A$在抛物线$y = x^{2}$上，把$x = -3$代入$y = x^{2}$，可得$y = (-3)^{2}=9$。
所以点$A$的坐标为$(-3,9)$。
当点$A$在$y$轴右侧时，同理可得坐标为$(3,9)$。
故点$A$的坐标为$(-3,9)$或$(3,9)$。

5. 如图为二次函数 $ y = -x^{2} $ 的图象,请在同一坐标系中画出函数 $ y = -2x^{2} $,$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象。
(1) 列表。

| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $y=-2x^{2}$ | … | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 | … |
| $y=-\frac{1}{2}x^{2}$ | … | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 | … |
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(2) 描点,并连线。
(3) 请回答下列问题。
① 二次函数 $ y = -2x^{2} $ 和 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象的形状是抛物线,开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0)。在对称轴的左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在对称轴的右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x = $0时,$ y $ 有最大值为0。
② 如果 $ a ＜ 0 $,$ a $ 越小,即 $ |a| $ 越大,抛物线 $ y = ax^{2} $ 的开口越小(“大”或“小”)。

答案：
(1)
| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $y=-2x^{2}$ | … | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 | … |
| $y=-\frac{1}{2}x^{2}$ | … | -2 | -0.5 | 0 | -0.5 | -2 | … |
(2) （此处需根据列表数据在坐标系中描点连线，因无法直接画图，故省略画图步骤）
(3)①抛物线；下；y轴；(0,0)；增大；减小；0；大；0
②小

6. (2023 保康期中)如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象交于点 $ A(1,m) $ 和 $ B(-2,4) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1) 求两个函数的解析式；
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积。

答案：
(1) 二次函数 $ y = x^2 $，一次函数 $ y = -x + 2 $；
(2) $ 3 $。