《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

23. (10分)如图,用5个实心圆圈、5个空心圆圈相间组成一个圆环,然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串,相邻两圆环有一公共圆圈,公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列.


(1) 把上表补充完整.
|圆环串中圆环的个数|1|2|3|4|5|6|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|实心圆圈和空心圆圈的总个数|10|19|28|37|46|55|

(2) 设圆环串由$x$个圆环组成,请你直接写出实心圆圈和空心圆圈的总个数:$9x + 1$.(用含$x$的代数式表示)

(3) 如果圆环串由18个圆环组成,那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈?
当$x = 18$时，$9x + 1=9×18 + 1=163$；
空心圆圈：当圆环个数为$1$时，空心圆圈$5$个，实心圆圈$5$个，实心圆圈比空心圆圈多$0$个；
当圆环个数为$2$时，空心圆圈$5 + 4$个，实心圆圈$5+5$个，实心比空心多$1$个；
当圆环个数为$3$时，空心圆圈$5 + 4×2$个，实心圆圈$5×2+4$个，实心比空心多$2$个；
当有$x$个圆环时，实心比空心多$(x - 1)$个，总数为$9x + 1$，
设空心圆圈$y$个，则实心圆圈$y+(x - 1)$个，
$y+y+(x - 1)=9x + 1$，
$2y=8x + 2$，
$y = 4x+1$。
当$x = 18$时，空心圆圈$4×18 + 1=73$（个）。
综上，实心圆圈和空心圆圈总数为$163$个，空心圆圈$73$个。

答案： （1）
|圆环串中圆环的个数|1|2|3|4|5|6|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|实心圆圈和空心圆圈的总个数|10|19|28|37|46|55|
（2）$9x + 1$
（3）当$x = 18$时，$9x + 1=9×18 + 1=163$；
空心圆圈：当圆环个数为$1$时，空心圆圈$5$个，实心圆圈$5$个，实心圆圈比空心圆圈多$0$个；
当圆环个数为$2$时，空心圆圈$5 + 4$个，实心圆圈$5+5$个，实心比空心多$1$个；
当圆环个数为$3$时，空心圆圈$5 + 4×2$个，实心圆圈$5×2+4$个，实心比空心多$2$个；
当有$x$个圆环时，实心比空心多$(x - 1)$个，总数为$9x + 1$，
设空心圆圈$y$个，则实心圆圈$y+(x - 1)$个，
$y+y+(x - 1)=9x + 1$，
$2y=8x + 2$，
$y = 4x+1$。
当$x = 18$时，空心圆圈$4×18 + 1=73$（个）。
综上，实心圆圈和空心圆圈总数为$163$个，空心圆圈$73$个。