《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

22.(9 分)定义如下：使等式 $mn = m^{2}-2n - 2$ 成立的一对有理数 $m$,$n$ 叫“理想有理数对”,记为 $(m,n)$,如：$3×\frac{7}{5}= 3^{2}-2×\frac{7}{5}-2$,所以 $\left(3,\frac{7}{5}\right)$ 是“理想有理数对”.
(1)判断数对 $\left(2,\frac{1}{2}\right)$ 是否为“理想有理数对”,并说明理由；
(2)若 $(0,p)$ 是“理想有理数对”,求 $p^{3}$ 的值.

答案：
(1)
根据“理想有理数对”的定义，判断$\left(2,\frac{1}{2}\right)$是否满足$mn = m^{2}-2n - 2$。
左边$=2×\frac{1}{2}=1$；
右边$=2^{2}-2×\frac{1}{2}-2$
$=4 - 1 - 2$
$=1$。
因为左边$=$右边，所以$\left(2,\frac{1}{2}\right)$是“理想有理数对”。
(2)
因为$(0,p)$是“理想有理数对”，将$m = 0$，$n = p$代入$mn = m^{2}-2n - 2$中，可得：
$0× p=0^{2}-2p - 2$
即$0=-2p - 2$，
移项可得$2p=-2$，
解得$p = - 1$。
所以$p^{3}=(-1)^{3}=-1$。
综上，答案为：
(1) $\left(2,\frac{1}{2}\right)$是“理想有理数对”，理由见上述步骤；
(2) $p^{3}$的值为$-1$。