《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

23. (11分)同学们都知道,$|5 - 2|$表示5与2的差的绝对值,实际上也可以理解为5与2两数在数轴上所对应的两点间的距离,试探索：
(1)$|5 - 2|$= 3,$|5 - (-2)|$= 7.
(2)同理$|x + 5| + |x - 2|表示数轴上有理数x$所对应的点到-5和2所对应的两点间距离之和,请你找出所有符合条件的整数$x$,使得$|x + 5| + |x - 2| = 7$,这样的整数是-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2.
(3)由以上探索猜想对于任何有理数$x$,$|x + 6| + |x - 3|$是否有最小值？如果有,请写出最小值；如果没有,请说明理由.
有最小值，最小值为9

答案：
(1)
$\vert5 - 2\vert= 3$；
$\vert5 - (-2)\vert=\vert5 + 2\vert = 7$；
(2)
当$x\lt - 5$时，$\vert x + 5\vert+\vert x - 2\vert=-(x + 5)-(x - 2)=-x - 5 - x + 2=-2x - 3=7$，
则$-2x=10$，解得$x = - 5$（不符合$x\lt - 5$，舍去）；
当$-5\leqslant x\leqslant2$时，$\vert x + 5\vert+\vert x - 2\vert=x + 5-(x - 2)=x + 5 - x + 2 = 7$，
所以$x$可以为$-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$；
当$x\gt2$时，$\vert x + 5\vert+\vert x - 2\vert=x + 5+x - 2=2x + 3=7$，
则$2x = 4$，解得$x = 2$（不符合$x\gt2$，舍去）；
这样的整数是$-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$；
(3)
有最小值，
因为$\vert x + 6\vert+\vert x - 3\vert$表示数轴上有理数$x$所对应的点到$-6$和$3$所对应的两点间距离之和，
当$-6\leqslant x\leqslant3$时，$\vert x + 6\vert+\vert x - 3\vert$的值最小，最小值为$\vert3 - (-6)\vert = 9$。
综上，答案依次为：
(1)$3$；$7$；
(2)$-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$；
(3)有最小值，最小值为$9$。