《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

20. (9分)已知$y= \frac {1}{2}x^{2}+\frac {7}{4}x+\frac {3}{4},z= y+\frac {1}{y}$. 给出$x$的值,可以求$y和z$的值.如:当$x= 1$时,$y= \frac {1}{2}× 1^{2}+\frac {7}{4}× 1+\frac {3}{4}= \frac {1}{2}+\frac {7}{4}+\frac {3}{4}= 3,z= 3+\frac {1}{3}= \frac {10}{3}$.
(1) 当$x= -2$时,请求出$y和z$的值.
(2) 当$x= -\frac {1}{2}$时,试判断$z$的值是否存在.若存在,求出$z$的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)
当$x = - 2$时，
$y=\frac{1}{2}×(-2)^{2}+\frac{7}{4}×(-2)+\frac{3}{4}$
$=\frac{1}{2}×4-\frac{7}{2}+\frac{3}{4}$
$=2 - \frac{7}{2}+\frac{3}{4}$
$=\frac{8 - 14 + 3}{4}=-\frac{3}{4}$
$z=y+\frac{1}{y}=-\frac{3}{4}-\frac{4}{3}=-\frac{9 + 16}{12}=-\frac{25}{12}$
(2)
当$x = -\frac{1}{2}$时，
$y=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}×(-\frac{1}{2})+\frac{3}{4}$
$=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}-\frac{7}{8}+\frac{3}{4}$
$=\frac{1}{8}-\frac{7}{8}+\frac{6}{8}=0$
因为$z = y+\frac{1}{y}$，此时$y = 0$，分母为$0$无意义，所以$z$的值不存在。
综上：
(1)$y = -\frac{3}{4}$，$z = -\frac{25}{12}$；
(2)$z$的值不存在。