《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

18. (8分)已知$-5x^{m}y^{3} + 10^{4}x^{m} - 4xy^{2}是关于x$,$y$的六次多项式,求$m$的值,并写出该多项式. 下面是小明同学给出的解法：
解：由原多项式知,第一项的次数为$m + 3$,第二项的次数为$4 + m$,第三项的次数为3,所以此多项式最高次数为$4 + m$. ①
因为这个多项式是六次多项式,所以$4 + m = 6$. ②
所以$m = 2$. ③
所以原多项式为$-5x^{2}y^{3} + 10^{4}x^{2} - 4xy^{2}$. ④
小明同学的解答正确吗？若不正确,请指出错在哪一步,并给出正确的解法.

答案： $m = 3$，多项式为$-5x^{3}y^{3} + 10^{4}x^{3} - 4xy^{2}$。

19. (9分)观察下列式子,定义一种新运算：$5\3 = 2×5 - 3$,$3$-1) = 2×3 + 1$,$(-4)$-3) = 2×(-4) + 3$.
(1)这种新运算是$x\y =$$2x - y$(用含$x$,$y$的代数式表示)；
(2)若$a$,$b$均为整数,试判断$(a\b - b\a)\3a$能否被3整除,并说明理由.

答案：
(1) $2x - y$
(2) 能被3整除。理由如下：
由新运算定义得：$a\b = 2a - b$，$b\a = 2b - a$。
则$a\b - b\a = (2a - b) - (2b - a) = 3a - 3b = 3(a - b)$。
再计算$[3(a - b)]\3a$：由定义得$2×[3(a - b)] - 3a = 6(a - b) - 3a = 3a - 6b = 3(a - 2b)$。
因为$a,b$为整数，所以$a - 2b$为整数，故$3(a - 2b)$能被3整除。即$(a\b - b\a)\3a$能被3整除。