《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

19. (9分)如图是某会议室大门的形状,其上部是半径为$a$m的半圆形,下部是长相同的四个小长方形,每个小长方形的长为$b$m.
(1) 求这个大门的面积;(计算结果保留$\pi$)
(2) 若安装大门的单价为100元/$m^{2}$,当$a = 0.9,b = 1$时,请计算安装这个大门所需的费用.($\pi$取3)

答案：
(1) 由图可知，下部四个小长方形组成一个大长方形，大长方形的长为半圆形的直径，即 $2a$ m，宽为 $2b$ m。
下部面积：$2a × 2b = 4ab$ $m^2$。
上部半圆形面积：$\frac{1}{2}\pi a^2$ $m^2$。
大门总面积：$\frac{1}{2}\pi a^2 + 4ab$ $m^2$。
(2) 当 $a = 0.9$，$b = 1$，$\pi = 3$ 时，
面积为：$\frac{1}{2} × 3 × (0.9)^2 + 4 × 0.9 × 1$
$= 1.5 × 0.81 + 3.6$
$= 1.215 + 3.6 = 4.815$ $m^2$。
费用：$4.815 × 100 = 481.5$ 元。
(1) $\frac{1}{2}\pi a^2 + 4ab$
(2) 481.5元

20. (9分)数学活动中,小明用长方形硬纸板做底面为正方形的长方体形盒子,为了不浪费材料,他设计了如图两种方法对硬纸板进行裁剪(裁剪后剩余角料不再利用). A方法:剪3个侧面;B方法:剪2个侧面和2个底面,剩余部分材料.

任务一:裁剪
现有35张硬纸板,其中$x$张硬纸板用A方法裁剪,其余的硬纸板用B方法裁剪.
(1) 按照以上信息,完成下表(用含$x$的代数式表示,结果要求化简):
| | A方法 | B方法 | 小计 |
| 硬纸板数目/张 | $x$ | $35 - x$ | 35 |
| 侧面数目/个 | $3x$ | ①______ | ③______ |
| 底面数目/个 | 0 | ②______ | ④______ |

任务二:计算
(2) 小明使用的硬纸板是$780$mm×$560$mm规格的,即长方形硬纸板长780mm,宽560mm,制作出来的一个长方体形盒子的体积是多少立方厘米?
(1)①$70 - 2x$；②$70 - 2x$；③$x + 70$；④$70 - 2x$。
(2)由题意，一个长方体盒子需2个底面和4个侧面，故底面总数是侧面总数的一半，即$70 - 2x=\frac{1}{2}(x + 70)$。
解方程：$2(70 - 2x)=x + 70$
$140 - 4x=x + 70$
$5x=70$
$x=14$
A方法中，3个侧面裁剪自长780mm的硬纸板，故底面边长$a=\frac{780}{3}=260mm=26cm$，侧面高$h=560mm=56cm$。
体积$V=a^2h=26×26×56=37856cm^3$。
答：制作出来的一个长方体形盒子的体积是$37856$立方厘米。

答案：
(1)①$2(35 - x)=70 - 2x$；②$2(35 - x)=70 - 2x$；③$3x + (70 - 2x)=x + 70$；④$70 - 2x$。
(2)由题意，一个长方体盒子需2个底面和4个侧面，故底面总数是侧面总数的一半，即$70 - 2x=\frac{1}{2}(x + 70)$。
解方程：$2(70 - 2x)=x + 70$
$140 - 4x=x + 70$
$5x=70$
$x=14$
A方法中，3个侧面裁剪自长780mm的硬纸板，故底面边长$a=\frac{780}{3}=260mm=26cm$，侧面高$h=560mm=56cm$。
体积$V=a^2h=26×26×56=37856cm^3$。
答：制作出来的一个长方体形盒子的体积是$37856$立方厘米。