《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

23. (10分)整体思想是一种重要的解决数学问题的策略. 例如:
已知当$x= 1$时,$ax^{3}+bx-1的值为2\ 024$,则当$x= -1$时,$ax^{3}+bx+1$的值是多少?
解:因为当$x= 1$时,$ax^{3}+bx-1的值为2\ 024$,
所以$a+b-1= 2\ 024$.
所以$a+b= 2\ 025$.
当$x= -1$时,
$ax^{3}+bx+1= a×(-1)^{3}+b×(-1)+1= -(a+b)+1= -2\ 025+1= -2\ 024$.
请认真阅读上面例题的解答过程,解决下面问题.
(1) 若$x^{2}+3x= 2$,则$2x^{2}+6x-1= $3.
(2) 已知$m^{2}-n^{2}= 4,mn-n^{2}= 1$,求$m^{2}-2mn+n^{2}$的值.
因为$m^{2}-n^{2}=4$，$mn - n^{2}=1$，所以$m^{2}-2mn + n^{2}=(m^{2}-n^{2})-2(mn - n^{2})=4-2×1 = 2$。
(3) $A,B两地相距60\ km$,甲、乙两人同时从$A,B$两地骑自行车出发,相向而行. 甲每小时行$a\ km$,乙每小时行$b\ km$,经过$2\ h$相遇. 问:甲、乙两人出发多少时间相距$20\ km$?
由题意可知$2(a + b)=60$，即$a + b = 30$。设甲、乙两人出发$x$小时相距$20km$。当两人相遇前相距$20km$时，$(a + b)x=60 - 20$，把$a + b = 30$代入得$30x = 40$，解得$x=\frac{4}{3}$；当两人相遇后相距$20km$时，$(a + b)x=60 + 20$，把$a + b = 30$代入得$30x = 80$，解得$x=\frac{8}{3}$。综上，甲、乙两人出发$\frac{4}{3}h$或$\frac{8}{3}h$相距$20km$。

答案： （1）
由$x^{2}+3x=2$，等式两边同时乘以2得：$2x^{2}+6x = 4$，
则$2x^{2}+6x - 1=4 - 1=3$。
（2）
因为$m^{2}-n^{2}=4$，$mn - n^{2}=1$，
所以$m^{2}-2mn + n^{2}=(m^{2}-n^{2})-2(mn - n^{2})=4-2×1 = 2$。
（3）
由题意可知$2(a + b)=60$，即$a + b = 30$。
设甲、乙两人出发$x$小时相距$20km$。
当两人相遇前相距$20km$时，$(a + b)x=60 - 20$，
把$a + b = 30$代入得$30x = 40$，解得$x=\frac{4}{3}$；
当两人相遇后相距$20km$时，$(a + b)x=60 + 20$，
把$a + b = 30$代入得$30x = 80$，解得$x=\frac{8}{3}$。
综上，答案依次为：（1）$3$；（2）$2$；（3）$\frac{4}{3}h$或$\frac{8}{3}h$。