《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

22. (10分)阅读与思考
下面是小馨同学的部分数学笔记,请仔细阅读并完成相应的任务.
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一定能整除吗?
【发现问题】
(1) 任意写一个两位数;
(2) 交换这个两位数的十位数字和个位数字,又得到一个新的两位数;
(3) 这个新的两位数与原来两位数的和一定能被11整除.
【数学思考】
举例:例①$14 + 41 = 55,55÷11 = 5$;例②$25 + 52 = 77,77÷11 = 7$;例③ ▲.
【问题解决】
设一个两位数的十位上的数字是$a$,个位上的数字是$b$,
根据题意,得$(10a + b)+(10b + a)$
$= 11a + 11b$
$= 11(a + b)$.
因为$11(a + b)÷11 = a + b$,
所以这个两位数与新的两位数的和能被11整除.
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任务:
(1) 仿照例①、例②,将例③补充完整:$36 + 63 = 99, 99 ÷ 11 = 9$（答案不唯一，如$23 + 32 = 55$等，合理即可）.
(2) 请参照笔记中的分析与解答过程,解答下面问题:一个三位数,它的百位数字为$a$,十位数字为$b$,个位数字为$c$,若把它的百位数字与个位数字对调,将得到一个新的三位数.计算原数与新数的差,这个差能被11整除吗? 为什么?

答案：
(1) 例③：$36 + 63 = 99, 99 ÷ 11 = 9$（答案不唯一，如$23 + 32 = 55$等，合理即可）。
(2)
原数为$100a + 10b + c$，新数为$100c + 10b + a$，
差为：
$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$
$= 100a + 10b + c - 100c - 10b - a$
$= 99a - 99c$
$= 99(a - c)$
因为$99(a - c) ÷ 11 = 9(a - c)$，
所以这个差能被11整除。