《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

例1 如图,在等边三角形ABC中,AB = 10 cm,DC = 4 cm. N,M分别是AB,BC上的动点,如果点M,N都以3 cm/s的速度运动,点M在CB上由点C向点B运动,点N在BA上由点B向点A运动,它们同时出发,设两个点的运动时间为t s,当△BMN是直角三角形时,t的值为( )


A.$\frac{13}{9}$
B.$\frac{20}{9}$
C.$\frac{13}{9}或\frac{20}{9}$
D.$\frac{10}{9}或\frac{20}{9}$

答案： D.

1. 如图,∠AOB = 60°,点P在边OA上,OP = 12,点M,N在边OB上,PM = PN. 若MN = 2,则OM的长是( )

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C.

例2 如图,在△ABC中,AB = AC,∠A = 120°,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点M,N,求证：CM = 2BM.

答案： 证明：
连接$AM$。
由于$AB = AC$，$\angle BAC = 120°$，
根据等腰三角形的性质，有：
$\angle B = \angle C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$。
由于$MN$是$AB$的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线的性质，有：
$AM = BM$，
因此，$\angle B = \angle MAB = 30°$。
由于$\angle BAC = 120°$，
所以$\angle MAC = 120° - 30° = 90°$。
在直角三角形$AMC$中，
由于$\angle C = 30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
有$CM = 2AM$。
由于$AM = BM$，
所以$CM = 2BM$。

2. 如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E. 若∠A = 30°,CD = 2,求BD的长.

答案： BD的长为4.