《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

例 1 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 36^{\circ}$,$BD$,$CE分别是\angle ABC$,$\angle BCD$的平分线,则图中的等腰三角形有( )


A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个

答案： A

例 2 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC的平分线BF与外角\angle ACG的平分线相交于点F$,过点$F作DF// BC交AB于点D$,交$AC于点E$.若$BD = 8\mathrm{cm}$,$DE = 2.5\mathrm{cm}$,则$CE$的长为( )


A.$4.5\mathrm{cm}$
B.$5\mathrm{cm}$
C.$5.5\mathrm{cm}$
D.$6\mathrm{cm}$

答案： C

1. 下列条件中,可以判定$\triangle ABC$是等腰三角形的是( )

A.$\angle B = 40^{\circ}$,$\angle C = 80^{\circ}$
B.$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$
C.$2\angle A = \angle B + \angle C$
D.三个角的度数之比是$2:2:1$

答案： D

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 36^{\circ}$,$\angle DBC = 36^{\circ}$,$\angle C = 72^{\circ}$,则图中的等腰三角形有( )


A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个

答案： D

例 3 如图,点$E在\triangle ABC的边AC$的延长线上,点$D在边AB$上,$DE交BC于点F$,$DF = EF$,$BD = CE$.求证：$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案： 过 $D$ 作 $DG // AC$，交 $BC$ 于 $G$。
因为$DG // AC$，
所以$\angle GDF = \angle E$，$\angle DGF = \angle ECF$。
在 $\triangle DFG$ 和 $\triangle EFC$ 中：
$\begin{cases} \angle GDF = \angle E, \\ \angle DFG = \angle EFC, \\ DF = EF. \end{cases}$
所以$\triangle DFG \cong \triangle EFC (AAS)$。
所以$DG = CE$。
因为$BD = CE$，
所以$DG = BD$，
所以$\angle B = \angle DGB$。
因为$DG // AC$，
所以$\angle DGB = \angle ACB$。
所以$\angle B = \angle ACB$，
所以$AB = AC$，
所以$\triangle ABC$ 是等腰三角形。

3. 如图,点$A$,$C分别在\angle GBE的边BG$,$BE$上,且$AB = AC$,$AD// BE$,$\angle GBE的平分线与AD交于点D$,连接$CD$.
(1)求证：①$AB = AD$；②$CD平分\angle ACE$；
(2)猜想$\angle BDC与\angle BAC$之间的数量关系,并对你的猜想加以证明.

答案：
(1)证明略.
(2)∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC. 证明略.