《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

例1 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = CB$,$D$ 为 $AB$ 延长线上一点,点 $E$ 在边 $BC$ 上,且 $BE = BD$,连接 $AE$,$DE$,$DC$。
(1) 求证：$\triangle ABE \cong \triangle CBD$；
(2) 若 $\angle CAE = 30^{\circ}$,求 $\angle BDC$ 的度数。

答案：
(1)证明略.
(2)∠BDC=75°.

1. 如图,$AB = AC$,$DB = DC$,$F$ 是 $AD$ 的延长线上一点,连接 $BF$,$CF$。求证：$BF = CF$。

答案： 在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC, \\AD = AD, \\DB = DC.\end{cases}$
根据全等三角形的$SSS$判定，△ABD≌△ACD，
全等三角形对应角相等，所以∠BAD = ∠CAD，
在△ABF和△ACF中，
$\begin{cases}AB = AC, \\\angle BAF = \angle CAF, \\AF = AF.\end{cases}$
根据全等三角形的$SAS$判定，
△ABF≌△ACF，
所以$BF = CF$。

例2 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$BE$,$CF$ 分别是 $AC$,$AB$ 上的高,在 $BE$ 上截取 $BD = AC$,在 $CF$ 的延长线上截取 $CG = AB$,连接 $AD$,$AG$。
(1) 求证：$AD = AG$；
(2) 请判断 $AD$ 与 $AG$ 的位置关系,并说明理由。

答案：
(1)证明略.
(2)AD⊥GA,理由略.

2. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = AC$,$\angle D = 90^{\circ}$,$BE \perp AC$ 于点 $F$,交 $CD$ 于点 $E$,连接 $EA$,$EA$ 平分 $\angle DEF$。
(1) 求证：$AF = AD$；
(2) 若 $BF = 7$,$DE = 3$,求 $CE$ 的长。

答案：
(1)证明略.
(2)4.