《2025年新课程实践与探究丛书八年级数学上册人教版》

1. 如图,$DE \perp AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$,$DF \perp AC$ 于点 $F$,若 $BD = CD$,$BE = CF$,求证:$AD$ 平分 $\angle BAC$.

答案： 证明：
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases} \angle BED = \angle CFD = 90^{\circ}, \\BD = CD, \\BE = CF.\end{cases}$
根据直角三角形的全等判定定理（$HL$），可得：
$\triangle BDE \cong \triangle CDF$，
由全等三角形的对应边相等，可得：
$DE = DF$，
根据角的平分线的判定定理（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
由于$DE \perp AB$的延长线于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$，且$DE = DF$，
所以点$D$在$\angle BAC$的平分线上，
即$AD$平分$\angle BAC$。

例 2 如图,在四边形 $ABCD$ 中, $\angle A = 90^{\circ}$,$AD = 3$,连接 $BD$,$BD \perp CD$, $\angle ADB = \angle C$. 若 $P$ 是 $BC$ 上一动点,则 $DP$ 的最小值为( )

A.1
B.6
C.3
D.12

答案： C.

2. 如图,在四边形 $ABCD$ 中, $\angle B = \angle C = 90^{\circ}$,$M$ 是 $BC$ 的中点,连接 $DM$,$AM$,$DM$ 平分 $\angle ADC$. 求证:$AM$ 平分 $\angle DAB$.

答案： 过点 $M$ 作 $ME \perp AD$ 于点 $E$。
因为 $DM$ 平分 $\angle ADC$，且 $\angle C = 90°$，$M$ 在 $BC$ 上，$ME \perp AD$。
根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以 $MC = ME$。
又因为 $M$ 是 $BC$ 的中点，所以 $MB = MC$。
所以 $ME = MB$，又因为 $MB \perp AB$，$ME \perp AD$。
故 $AM$ 平分 $\angle DAB$。