《2025年一遍过七年级数学上册华师大版》

11 [2025绍兴期末]按如图所示的方法折纸,下列说法不一定正确的是 (D)

A.$∠2 = ∠1 + ∠3$
B.$∠1与∠3$互余
C.$∠1与∠AEC$互补
D.$EC'平分∠AEF$

答案： D 根据折叠的性质可知,∠1=∠AEB',∠3=∠FEC',所以∠2=∠1+∠3.因为∠1+∠AEB'+∠3+∠FEC'=180°,∠AEB'+∠FEC'=∠2,所以∠2+∠1+∠3=180°,所以∠1+∠3=90°,即∠1与∠3互余.因为点E在BC上,所以∠1+∠AEC=180°,所以∠1与∠AEC互补.根据题中条件无法得到∠1=∠3,所以无法得到EC'平分∠AEF.

12 [2025南京外国语学校月考]如图,点$C是射线OA$上一点,过点$C作CD ⊥ OB于点D$,作$CE ⊥ OA于点C$,则下列错误的是 (C)

A.$∠1是∠ECD$的余角
B.$∠AOB = ∠DCE$
C.图中互余的角共有3对
D.$∠ACD = ∠BEC$

答案： C 因为CE⊥OA,所以∠OCE=90°,所以∠ECD+∠1=90°,所以∠1与∠ECD互余,选项A正确.因为CD⊥OB,所以∠CDO=∠CDE=90°,所以∠DCE+∠OEC=90°.因为∠AOB+∠OEC=90°,所以∠AOB=∠DCE,选项B正确.因为∠1+∠AOB=∠1+∠DCE=∠DCE+∠CED=∠AOB+∠CED=90°,所以题图中共有4对角互余,选项C错误.因为∠1+∠DCE=90°,∠CED+∠DCE=90°,所以∠1=∠CED.因为∠ACD+∠1=180°,∠BEC+∠CED=180°,所以∠ACD=∠BEC,选项D正确.

13 若$∠α与∠β$互补,且$∠α ＞ ∠β$,给出下列式子：①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$180° - ∠α$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$. 其中是$∠β$的余角的是①②④.(填序号)

答案： ①②④ 因为∠α与∠β互补,所以∠α+∠β=180°,所以∠β=180°-∠α,所以90°-∠β=90°-(180°-∠α)=90°-180°+∠α=∠α-90°,所以∠α-90°是∠β的余角;因为$\frac{1}{2}$(∠α-∠β)=$\frac{1}{2}$(180°-∠β-∠β)=$\frac{1}{2}$(180°-2∠β)=90°-∠β,所以$\frac{1}{2}$(∠α-∠β)是∠β的余角.所以①②④是∠β的余角.

14 推理能力已知$α$,$β$都是锐角,$γ$是钝角.
(1)在计算$\frac{1}{3}(α + β + γ)$的度数时,有三位同学分别算出了$119°$,$120°$,$121°$,这三个不同的结果,只有一个是正确答案,请你求$α + β + γ$的值；
(2)在(1)的情况下,若锐角$β比锐角α小1°$,钝角$γ是锐角α$的2倍,求$γ$的补角的度数.

答案：
(1)因为α,β都是锐角,γ是钝角, 所以α+β+γ＜360°. 若$\frac{1}{3}$(α+β+γ)=119°,则α+β+γ=357°,符合题意; 若$\frac{1}{3}$(α+β+γ)=120°,则α+β+γ=360°,不符合题意; 若$\frac{1}{3}$(α+β+γ)=121°,则α+β+γ=363°,不符合题意; 综上,α+β+γ=357°.
(2)由题知β=α-1,γ=2α.因为α+β+γ=357°, 所以α+α-1+2α=357°, 所以α=89.5°,所以γ=2α=179°, 所以γ的补角的度数是180°-179°=1°.

1 在同一条直线上有三个点 A,B,C. 若 AB = 10 cm,AC = 30 cm,点 M 是 AB 的中点,点 N 是 AC 的中点,求线段 MN 的长.

答案： 解:如图1,当点B在线段AC上时,
MN=AN - AM = $\frac{1}{2}$AC - $\frac{1}{2}$AB = 15 - 5 = 10(cm).
如图2,当点B在线段AC的反向延长线上时,
MN=AN + AM = $\frac{1}{2}$AC + $\frac{1}{2}$AB = 15 + 5 = 20(cm).
综上,线段MN的长为10cm或20cm.

2 定义:有一条公共边的两个互余的角叫做“友余角”. 已知 ∠α 和 ∠β 为一对“友余角”,∠α = 20°,求 ∠α 的平分线和 ∠β 的平分线所成的角的度数.

答案：
解:因为∠α和∠β为一对“友余角”,∠α = 20°,
所以∠β = 90° - 20° = 70°.
如图1,当∠α在∠β的外部时,
∠α和∠β的平分线所成的角的度数是$\frac{1}{2}$∠α + $\frac{1}{2}$∠β = 45°.
如图2,当∠α在∠β的内部时,
∠α和∠β的平分线所成的角的度数是$\frac{1}{2}$∠β - $\frac{1}{2}$∠α = 25°.
综上,∠α和∠β的平分线所成的角的度数为45°或25°.