《2025年一遍过七年级数学上册华师大版》

如图是有理数 $a,b,c,d$ 在数轴上的对应点的位置.

【基础设问】
(1)若 $c = 3$,把数 $c$ 对应的点向右移动 $3$ 个单位长度,与数 $d$ 对应的点重合,则 $d= $____；把数 $c$ 对应的点向左移动 $3$ 个单位长度,与数 $b$ 对应的点重合,则 $b= $____.
(2)若 $a = -3$,则数 $a$ 的绝对值、相反数与倒数的和等于____.
(3)若 $c$ 是最小的正整数,$b$ 是绝对值最小的有理数,$a$ 是最大的负整数,求 $a + b + c$ 的值.
【能力设问】
(4)结合题图,若 $|a| = 5$,$b^2 = 4$,求 $a + b$ 的值.
(5)请你在数轴上任意找一个点为原点,则数 $a,b,c,d$ 的大小顺序是什么？改变原点的位置,则这 $4$ 个数的大小顺序会改变吗？这说明了数轴的什么性质？
(6)若 $a$ 是不等于 $0$ 的有理数,求 $\frac{a - |a|}{2a}$ 的值.
(7)结合题图,给出下列 $4$ 个推断：①若 $ad ＞ 0$,则一定会有 $bc ＞ 0$；②若 $ad ＜ 0$,则一定会有 $bc ＜ 0$；③若 $bc ＞ 0$,则一定会有 $ad ＞ 0$；④若 $bc ＜ 0$,则一定会有 $ad ＜ 0$. 所有合理推断的序号是____,并说明理由.
【拓展设问】
(8)将图中数轴看作一条笔直的小路,且该小路上有三个村庄 $A,B,C$ (点 $A,B,C$ 分别与数 $a,b,c$ 所在的点重合). 村庄 $A$ 在村庄 $B$ 左侧 $3$ km 处,村庄 $C$ 在村庄 $B$ 右侧 $3$ km 处,现需要在该小路上建一个便民服务点 $P$,那么这个便民服务点 $P$ 建在何处,能使服务点 $P$ 到村庄 $A,B,C$ 的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由.

答案：

(1)6 0
(2)$\frac{17}{3}$
(3)依题意,得$c=1$,$b=0$,$a=-1$,所以$a+b+c=(-1)+0+1=0$.
(4)由$|a|=5$,$b^{2}=4$,得$a=\pm 5$,$b=\pm 2$.由数轴可知,$a\lt b$,所以$a=-5$.当$a=-5$,$b=-2$时,$a+b=(-5)+(-2)=-7$;当$a=-5$,$b=2$时,$a+b=(-5)+2=-3$.综上,$a+b$的值为$-7$或$-3$.
(5)数$a,b,c,d$的大小顺序是$a\lt b\lt c\lt d$,改变原点的位置,数$a,b,c,d$的大小顺序不会改变,这说明在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
(6)分情况讨论如下:若$a\gt0$,则$\frac{a-|a|}{2a}=\frac{a-a}{2a}=0$.若$a\lt0$,则$\frac{a-|a|}{2a}=\frac{a-(-a)}{2a}=1$.所以$\frac{a-|a|}{2a}$的值是0或1.
(7)①④ 理由如下:若$ad\gt0$,则$a,b,c,d$都同号,所以一定会有$bc\gt0$,①正确;若$ad\lt0$,则$a\lt0$,$d\gt0$,但$b,c$的符号不能确定,所以不一定会有$bc\lt0$,②错误;若$bc\gt0$,则$b,c$同号,但$a,d$的符号不能确定,所以不一定会有$ad\gt0$,③错误;若$bc\lt0$,则$b\lt0$,$c\gt0$,所以$a\lt0$,$d\gt0$,所以一定会有$ad\lt0$,④正确.
(8)把服务点$P$建在$B$村庄(如图1)时,到村庄$A,B,C$的总路程最短,最短路程是$3+3=6(km)$.理由如下:把服务点$P$建在$A$村庄左侧(如图2),$A$村庄(如图3),$A,B$村庄之间(如图4),$B,C$村庄之间(如图5),$C$村庄(如图6),$C$村庄右侧(如图7)时,服务点$P$到村庄$A,B,C$的总路程都大于$6\ km$,把服务点$P$建在$B$村庄时,到村庄$A,B,C$的总路程等于$6\ km$,最短.