《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

7. 已知 $\frac{a}{b}= -2$,求 $\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a^{2}-6ab + 9b^{2}}$ 的值。

答案： 7.解：因为$\frac{a}{b}=-2$，所以$a=-2b$，原式$=\frac{(a-b)^{2}}{(a-3b)^{2}}=\frac{(-2b-b)^{2}}{(-2b-3b)^{2}}=\frac{9b^{2}}{25b^{2}}=\frac{9}{25}$.

8. 有趣的“约分”：
“约去”指数,例如,$\frac{3^{3}+1^{3}}{3^{3}+2^{3}}= \frac{3 + 1}{3 + 2},\frac{5^{3}+2^{3}}{5^{3}+3^{3}}= \frac{5 + 2}{5 + 3}$,你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分,一笑之后,再认真检验,发现其结果竟然是正确的。
仔细观察式子,我们猜想：$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}+(a - b)^{3}}= \frac{a + b}{a+(a - b)}$,请你证明这个结论。(提示：$a^{3}+b^{3}= (a + b)(a^{2}-ab + b^{2})$)

答案： 8.证明：因为$a^{3}+(a-b)^{3}=[a+(a-b)][a^{2}-a(a-b)+(a-b)^{2}]=[a+(a-b)](a^{2}-a^{2}+ab+a^{2}-2ab+b^{2})=[a+(a-b)](a^{2}-ab+b^{2})$，所以$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}+(a-b)^{3}}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{[a+(a-b)](a^{2}-ab+b^{2})}=\frac{a+b}{a+(a-b)}$.