《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,且$D为BC$上一点,$CD = AD$,$AB = BD$,则$\angle B$的度数为(36°)

A.$30^{\circ}$
B.$36^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： 1.B　解析:设∠B的度数为x°.因为AB=AC,所以∠C=∠B=x°.又因为AD=CD，所以∠C=∠CAD=x°，所以∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=2x°.又因为AB=BD,所以∠BAD=∠ADB=2x°,所以x+x+2x+x=180,解得x=36,所以∠B的度数为36°.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$BD \perp AC$,垂足为$D$,则$\angle DBC与\angle A$的关系为( )

A.$\angle DBC = \angle A$
B.$\angle DBC = 2\angle A$
C.$2\angle DBC = \angle A$
D.无法确定

答案：
2.C　解析:如图,过点A作AE⊥BC于点E.因为BD⊥AC，AE⊥BC，所以∠BDC=∠AEC=90°,所以∠EAC+∠C=90°,∠DBC+∠C=90°,所以∠EAC=∠DBC.又因为AB=AC,所以AE是∠BAC的平分线,所以2∠EAC=∠BAC,即2∠DBC=∠BAC.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE平分\angle ABC$,$DE // BC$,若$AB = 12$,$AD = 5$,则$DE$等于(B)

A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$
]

答案： 3.B　解析:因为AB=12,AD=5，所以BD=AB−AD=12−5=7.因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠CBE.因为DE//BC,所以∠DEB=∠CBE,所以∠ABE=∠DEB,所以DE=BD=7.故选B.

4. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$AB的垂直平分线MN交AC于点D$,$\angle DBC = 15^{\circ}$,则$\angle A$的度数是50°。

答案： 4.50°　解析:因为MN是AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以∠A=∠ABD.因为∠DBC=15°,所以∠ABC=∠A+15°.因为AB=AC，所以∠C=∠ABC=∠A+15°,∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°,解得∠A=50°.

5. 如图,在$\triangle ABC的BC边上截取BE = AB$,连接$AE$,作$\triangle ABE的角平分线BD交AE于点D$,若$\angle EAC = \angle C$,$BC = 9$,$AB = 5$,则$CE = $4,$AD = $2。

答案： 5.4　　2　　解析:因为BE=AB,BD平分∠ABE,所以AD=DE.因为∠EAC=∠C,所以AE=CE.因为BC=9,AB=5,BE=AB,所以CE=BC−BE=BC−AB=9−5=4,所以AD=DE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$CE=2.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AE是BC$边上的高,$\angle ABC的平分线与AE相交于点D$。求证：点$D在\angle ACB$的平分线上。
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答案：
6.证明:如图,连接CD.

因为AB=AC,AE是BC边上的高,所以∠BAE=∠CAE.在△BAD和△CAD中, $\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAE=∠CAE,\\ AD=AD,\end{array}\right.$ 所以△BAD≌△CAD(SAS),所以∠ABD=∠ACD.因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB.因为BD是∠ABC的平分线,所以∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC,所以∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB,所以点D在∠ACB的平分线上.

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$,$\angle CAB的平分线交于点P$,过点$P作DE // AB$,分别交$BC$,$AC于点D$,$E$。求证：$DE = BD + AE$。
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答案： 7.证明:因为DE//AB，所以∠ABP=∠DPB,∠BAP=∠EPA.因为BP,AP分别平分∠ABC，∠CAB，所以∠ABP=∠DBP,∠BAP=∠EAP,所以∠DBP=∠DPB,∠EAP=∠EPA,所以DP=BD,EP=AE,所以DP+EP=BD+AE,即DE=BD+AE.