《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

24. (新定义题)定义：$L(A)是多项式A$化简后的项数.例如多项式$A = x^{2}+2x - 3$,则$L(A)= 3$.一个多项式$A乘多项式B$,化简得到多项式$C$(即$C = A× B$),若$L(A)\leq L(C)\leq L(A)+1$,则称$B是A$的“友好多项式”；若$L(A)= L(C)$,则称$B是A$的“特别友好多项式”.
(1) 若$A = x - 2,B = x + 3$,则$B是不是A$的“友好多项式”？说明理由.
(2) 若$A = x - 2,B = x^{2}+ax + 4是关于x$的多项式,且$B是A$的“特别友好多项式”,求$a$的值.

答案：
(1)$B$是$A$的"友好多项式".理由如下:因为$(x - 2)(x + 3)=x^{2}-2x + 3x -6=x^{2}+x -6$,$x^{2}+x -6$的项数比$A$的项数多1,所以$B$是$A$的"友好多项式".
(2)$(x - 2)(x^{2}+ax + 4)$$=x^{3}+ax^{2}+4x -2x^{2}-2ax -8$$=x^{3}+(a - 2)x^{2}+(4 - 2a)x -8.$因为$B$是$A$的"特别友好多项式",所以$a - 2=0$,且$4 - 2a=0$,解得$a=2$,所以$a$的值是2.

25. 学习了“平方差公式”和“完全平方公式”后,灵活运用乘法公式往往能化繁为简,巧妙解题.
【初步尝试】
(1) 已知$x^{2}+y^{2}= (x + y)^{2}-P= (x - y)^{2}+Q$,则$P= $$2xy$,$Q= $$2xy$.
【灵活运用】
(2) 由(1)可知,$a + b,a - b,a^{2}+b^{2},ab$这四个代数式之间具有一定的关系.例如,当$a,b$为正数时,如果$a - b = 3,ab = 10$,那么$(a + b)^{2}= (a - b)^{2}+$$4ab$,所以$a + b= $7.
(3) 已知长和宽分别为$a,b$的长方形,它的周长为 22,面积为 30,如图所示,求$a^{2}+b^{2}-ab$的值.
由长和宽分别为$a,b$的长方形，它的周长为22，面积为30，可知$2(a + b)=22$，$ab=30$，所以$a + b=11$，所以$a^{2}+b^{2}-ab=(a + b)^{2}-3ab=11^{2}-3×30=31$。
【解决问题】
(4) 某学校“行知农场”开辟出一块边长为 11 m 的正方形菜地,计划种植黄瓜与西红柿两种蔬菜.兼顾美观,在菜地中设计两个长和宽分别为$a$ m,$b$ m 的长方形,其中每个长方形的长与宽之差为 2 m,每个长方形的面积为$35m^{2}$,如图所示,计划在图中阴影部分种植黄瓜,其余菜地种植西红柿,请求出黄瓜的种植面积.
由题意，得$\begin{cases}a - b=2\\ab=35\end{cases}$，所以$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab=2^{2}+4×35=144$，所以$a + b=12$，所以阴影部分的面积为$(11 - a)^{2}+(11 - b)^{2}+(a + b - 11)^{2}=a^{2}+b^{2}-22(a + b)+242+(a + b - 11)^{2}=(a + b)^{2}-2ab -22(a + b)+242+(a + b - 11)^{2}=144 - 2×35 -22×12 + 242+(12 - 11)^{2}=53(m^{2})$。所以黄瓜的种植面积为$53\ m^{2}$。

答案： 【初步尝试】
(1)$2xy$;$2xy$ 解析:因为$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-P$,所以$P=(x + y)^{2}-(x^{2}+y^{2})$$=x^{2}+2xy + y^{2}-x^{2}-y^{2}=2xy.$因为$x^{2}+y^{2}=(x - y)^{2}+Q$,所以$Q=(x^{2}+y^{2})-(x - y)^{2}$$=x^{2}+y^{2}-x^{2}+2xy - y^{2}=2xy.$【灵活运用】
(2)$4ab$;7 解析:由
(1)可知$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab.$因为$a - b=3$,$ab=10$,所以$(a + b)^{2}=3^{2}+4×10=49.$因为$a,b$为正数,所以$a + b=7.$
(3)由长和宽分别为$a,b$的长方形,它的周长为22,面积为30,可知$2(a + b)=22$,$ab=30$,所以$a + b=11$,所以$a^{2}+b^{2}-ab=(a + b)^{2}-3ab=11^{2}-3×30=31.$
(4)由题意,得$\begin{cases}a - b=2,\\ab=35,\end{cases}$所以$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab=2^{2}+4×35=144$,所以$a + b=12$,所以阴影部分的面积为$(11 - a)^{2}+(11 - b)^{2}+(a + b - 11)^{2}$$=a^{2}+b^{2}-22(a + b)+242+(a + b - 11)^{2}$$=(a + b)^{2}-2ab -22(a + b)+242+(a + b - 11)^{2}$$=144 - 2×35 -22×12 + 242+(12 - 11)^{2}$$=53(m^{2}).$所以黄瓜的种植面积为$53\ m^{2}.$