《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

24. 如图,P 是△ABC 内一点,连接 PB,PC.
(1)当∠1 = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠2 = $\frac{1}{2}$∠ACB 时,∠P 与∠A 之间的数量关系是∠P=90°+ $\frac{1}{2}$∠A.
(2)当∠1 = $\frac{1}{3}$∠ABC,∠2 = $\frac{1}{3}$∠ACB 时,∠P 与∠A 的数量关系是什么？请说明理由.
∠P=120°+ $\frac{1}{3}$∠A.理由如下:因为∠1= $\frac{1}{3}$∠ABC,∠2= $\frac{1}{3}$∠ACB,所以∠1+∠2= $\frac{1}{3}$(180°-∠A)=60°- $\frac{1}{3}$∠A,所以∠P=180°-(∠1+∠2)=180°-$(60°-\frac{1}{3}∠A)$=120°+ $\frac{1}{3}$∠A.
(3)当∠1 = $\frac{1}{n}$∠ABC,∠2 = $\frac{1}{n}$∠ACB 时,请直接写出∠P 与∠A 的数量关系.
∠P=180°- $\frac{180°}{n}$+ $\frac{1}{n}$∠A

答案：
(1)∠P=90°+ $\frac{1}{2}$∠A
(2)∠P=120°+ $\frac{1}{3}$∠A.理由如下:因为∠1= $\frac{1}{3}$∠ABC,∠2= $\frac{1}{3}$∠ACB,所以∠1+∠2= $\frac{1}{3}$(180°-∠A)=60°- $\frac{1}{3}$∠A,所以∠P=180°-(∠1+∠2)=180°-$(60°-\frac{1}{3}∠A)$=120°+ $\frac{1}{3}$∠A.
(3)∠P=180°- $\frac{180°}{n}$+ $\frac{1}{n}$∠A.

25. 如图,∠AOB = 90°,点 C,D 分别在射线 OA,OB 上,CE 是∠ACD 的平分线,CE 的反向延长线与∠CDO 的平分线交于点 F.
(1)当∠OCD = 50°(如图①)时,求∠F 的度数.
(2)当 C,D 在射线 OA,OB 上任意移动时(不与点 O 重合)(如图②),∠F 的大小是否变化？请说明理由.

答案：
(1)因为∠AOB=90°,∠OCD=50°,所以∠CDO=40°,∠ACD=130°.因为CE是∠ACD的平分线,DF是∠CDO的平分线,所以∠ECD=65°,∠CDF=20°.因为∠ECD=∠F+∠CDF,所以∠F=45°.
(2)∠F的大小不变.理由如下:因为∠AOB=90°,所以∠CDO=90°-∠OCD,∠ACD=180°-∠OCD.因为CE是∠ACD的平分线,DF是∠CDO的平分线,所以∠ECD=90°- $\frac{1}{2}$∠OCD,∠CDF=45°- $\frac{1}{2}$∠OCD.因为∠ECD=∠F+∠CDF,所以∠F=45°.所以∠F的大小不变.