《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

1. 如图,$\angle C= \angle D= 90^{\circ}$,若$\angle DAB的平分线AE交CD于点E$,连接$BE$,且$BE恰好平分\angle ABC$,则$AB的长与AD+BC$的长的大小关系是( )


A.$AB＞AD+BC$
B.$AB= AD+BC$
C.$AB＜AD+BC$
D.无法确定

答案：
B 解析:如图,过点 E 作 EF⊥AB 于点 F.
因为 BE,AE 分别为∠ABC 和∠DAB 的平分线,∠C=∠D=90°,所以 EC=EF=ED. 又 BE=BE,AE=AE,所以 Rt△BCE≌Rt△BFE(HL),Rt△AEF≌Rt△AED(HL).所以 BC=BF,AF=AD,所以 AB=AF+BF=AD+BC.

2. 如图,$\triangle ABC的两个外角的平分线BP$,$CP交于点P$,$PE\perp AC于点E$.若$\triangle ABC的面积为10$,$\triangle BPC的面积为7$,$PE= 4$,则$\triangle ABC$的周长为( )


A.$8$
B.$10$
C.$11$
D.$12$

答案：
D 解析:如图,连接 AP,过点 P 作 PF⊥BC 于点 F,PG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G.

因为△ABC 的两个外角的平分线 BP,CP 交于点 P,PE⊥AC,PF⊥BC,PG⊥AB,所以 PG=PF=PE=4.
因为△BPC 的面积为 7,
所以$\frac{1}{2}BC×4=7$,
所以$BC=\frac{7}{2}$.
因为△ABC 的面积为 10,
所以$\frac{1}{2}AB×4+\frac{1}{2}AC×4-7=10$,
所以$AB+AC=\frac{17}{2}$,
所以△ABC 的周长为$AB+AC+BC=\frac{17}{2}+\frac{7}{2}=12$.
故选 D.

3. 如图,点$O在\triangle ABC$内,且到三边的距离相等,若$\angle BOC= 3\angle A$,则$\angle A= $36°.

答案： 36° 解析:在△ABC 中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
因为点 O 在△ABC 内,且到三边的距离相等,
所以 BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB,
所以$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$,$∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$,
所以∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB),
所以$3∠A=180°-\frac{1}{2}(180°-∠A)$.
解得∠A=36°.

4. 如图,$AB// CD$,点$P到AB$,$BC$,$CD$的距离都相等,则$\angle P= $90°.

答案： 90° 解析:因为 AB//CD,点 P 到 AB,BC,CD 的距离都相等,所以 BP 平分∠ABC,CP 平分∠DCB,所以∠PBC+∠PCB=90°,所以∠P=90°.

5. 如图,已知$\triangle ABC的两个外角的平分线交于点D$,连接$AD$. 求证：$AD是\angle BAC$的平分线.

答案：
证明:如图,分别过点 D 作 DE⊥AB,DF⊥BC,DG⊥AC,垂足分别为 E,F,G.

因为 BD 平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,
所以 DE=DF.
同理 DG=DF,
所以 DE=DG,
所以点 D 在∠EAG 的平分线上,
所以 AD 是∠BAC 的平分线.