《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

15. 某公园拟采用长方形瓷砖铺装农产品展馆地面,若每块瓷砖的长为$(x + my)cm$,宽为$(x - 2y)cm$,面积为$(x^{2}+nxy + 12y^{2})cm^{2}$,则$m= $-6,$n= $-8.

答案： -6 8 解析:由题意,得$(x+my)(x-2y)=x^{2}+nxy+12y^{2}$,所以$x^{2}-2xy+mxy-2my^{2}=x^{2}+nxy+12y^{2}$,即$x^{2}+(m-2)xy-2my^{2}=x^{2}+nxy+12y^{2}$,所以$m-2=n$,$-2m=12$,解得$m=-6$,$n=-8.$

16. 定义：$\varPhi [a,b,c]是以a,b,c为系数的关于x$的二次多项式,即$\varPhi [a,b,c]= ax^{2}+bx + c$,其中$a,b,c$均为实数.例如：$\varPhi [1,2,3]= x^{2}+2x + 3$,$\varPhi [2,0,-2]= 2x^{2}-2$.当$x = 3$时,$\varPhi [2,-1,3]×\varPhi [-1,2,-2]$的值是 ______；若$\varPhi [p,q,-1]×\varPhi [m,n,-2]= x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-x + 2$,则$(4p - 2q - 1)(2m - n - 1)$的值是 ______.
-90
-4

答案： -90 -4 解析:因为$\Phi[2,-1,3]=2x^{2}-x+3$,$\Phi[-1,2,-2]=-x^{2}+2x-2$,所以当$x=3$时,$\Phi[2,-1,3]=2×3^{2}-3+3=18$,$\Phi[-1,2,-2]=-3^{2}+2×3-2=-5$,所以$\Phi[2,-1,3]×\Phi[-1,2,-2]=18×(-5)=-90.$因为$\Phi[p,q,-1]×\Phi[m,n,-2]$$=(px^{2}+qx-1)(mx^{2}+nx-2)$$=pmx^{4}+(pn+qm)x^{3}+(qn-2p-m)x^{2}-(2q+n)x+2$$=x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-x+2$,所以$pm=1$,$pn+qm=2$,$qn-2p-m=-3$,$-(2q+n)=-1$,所以$(4p - 2q - 1)(2m - n - 1)$$=8pm-4pn-4p-4qm+2qn+2q-2m+n+1$$=8pm-4(pn+qm)+2(qn-2p-m)+(2q+n)+1$$=8-4×2+2×(-3)+1+1$$=-4.$

17. 计算：
(1) $a^{3}\cdot a\cdot a^{4}+(-2a^{4})^{2}+(a^{2})^{4}$；
(2) $(2x - y)(4x^{2}+2xy + y^{2})-7y^{3}$；
(3) $[(x - y)^{2}-(x + y)^{2}]÷ (xy)$.

答案：
(1)原式$=a^{8}+4a^{8}+a^{8}=6a^{8}.$
(2)原式$=8x^{3}+4x^{2}y+2xy^{2}-4x^{2}y-2xy^{2}-y^{3}-7y^{3}=8x^{3}-8y^{3}.$
(3)$[(x-y)^{2}-(x+y)^{2}]÷(xy)$$=(x-y+x+y)(x-y-x-y)÷(xy)$$=(-4xy)÷(xy)=-4.$

18. 用简便方法计算：
(1) $4^{2034}×(-0.25)^{2033}$；
(2) $\frac{2030}{2029^{2}-2030×2028}$.

答案：
(1)原式$=(-0.25×4)^{2033}×4$$=(-1)^{2033}×4=-4.$
(2)原式$=\dfrac{2030}{2029^{2}-(2029+1)×(2029-1)}$$=\dfrac{2030}{2029^{2}-(2029^{2}-1)}$$=\dfrac{2030}{2029^{2}-2029^{2}+1}=2030.$

19. 已知$(a - b)^{2}= 25,ab = -6$,求下列各式的值.
(1) $a^{2}+b^{2}$；
(2) $a^{4}+b^{4}$.

答案：
(1)因为$(a-b)^{2}=25$,$ab = -6$,所以$a^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab+2ab$$=(a-b)^{2}+2ab$$=25+2×(-6)=25-12=13.$
(2)因为$a^{2}+b^{2}=13$,$ab=-6$,所以$a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}$$=13^{2}-2×(-6)^{2}$$=169-72=97.$