《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

1. 如图,$∠ACE = ∠DCE$,$∠B = 35^{\circ}$,$∠DCE = 50^{\circ}$,则$∠A = $(65°)

A.$65^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$95^{\circ}$

答案： A　解析:因为∠ACE=∠DCE,∠DCE=50°,所以∠ACE=50°,所以∠ACD=∠ACE+∠DCE=100°.因为∠ACD=∠B+∠A,∠B=35°,所以∠A=∠ACD - ∠B=100° - 35°=65°.故选A.

2. 某款带底座无人机简易模型的示意图如图所示,其中$AB // EF$,$CG \perp EF$,若$∠ACD = 105^{\circ}$,$∠B = 69^{\circ}$,则$∠A + ∠BDC$的度数是( )

A.$15^{\circ}$
B.$21^{\circ}$
C.$36^{\circ}$
D.$48^{\circ}$

答案：
C　解析:如图,延长DC交AB于点K.因为∠AKC=∠B + ∠BDC，∠ACD=∠A + ∠AKC,所以∠ACD=∠A + ∠B + ∠BDC.因为∠ACD=105°,∠B=69°,所以∠A + ∠BDC=105° - 69°=36°.故选C.

3. 如图,点$E是\triangle ABC的外角∠CBD$内部一点,满足$∠CAB = 3∠EAB$,$∠CBD = 3∠EBD$。若$∠C = 42^{\circ}$,则$∠E$的度数是______。

14°

答案： 14°　解析:设∠EAB=x,∠EBD=y.因为∠CAB=3∠EAB,∠CBD=3∠EBD,所以∠CAB=3x,∠CBD=3y.因为∠EBD=∠EAB + ∠E,∠CBD=∠CAB + ∠C,所以{y = x + ∠E,① 3y = 3x + ∠C.② 因为∠C=42°,所以由② - ①×3,得42° - 3∠E=0,解得∠E=14°.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC的平分线交AC于点D$,作$∠BAG = ∠C$,外角$∠ABF的平分线交CA的延长线于点E$。
(1)求证：$BD \perp BE$；
(2)若$∠E = 20^{\circ}$,求$∠AHB$的度数。

答案：
(1)证明:因为∠ABC的平分线交AC于点D,∠ABF的平分线交CA的延长线于点E,所以∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABF.因为∠ABC + ∠ABF=180°,所以∠ABD + ∠ABE=$\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ABF)=90°,即BD⊥BE.
(2)解:由
(1),知BD⊥BE,所以∠DBE=90°.因为∠E=20°,所以∠BDE=90° - 20°=70°,所以∠C + ∠CBD=∠BDE=70°.因为∠BAG=∠C,∠CBD=∠DBA,所以∠DBA + ∠BAG=70°,所以∠AHB=180° - 70°=110°.

5. 如图①,在$\triangle ABC$中,$CD$,$BD分别是∠ACB和∠ABC$的平分线,且$∠A = \alpha$。
(1)用含$\alpha的式子表示∠CDB$。
(2)若把图①中“$CD是∠ACB$的平分线”改为“$CD是\triangle ABC的外角∠ACE$的平分线”,如图②,怎样用含$\alpha的式子表示∠CDB$？
(3)若把图①中“$CD$,$BD分别是∠ACB和∠ABC$的平分线”改成“$CD$,$BD分别是\triangle ABC的外角∠BCF和∠CBE$的平分线”,如图③,怎样用含$\alpha的式子表示∠CDB$？

答案：
(1)因为CD,BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线,所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB,所以∠DBC + ∠DCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180° - ∠A)=90° - $\frac{1}{2}$α.所以∠CDB=180° - (∠DBC + ∠DCB)=90° + $\frac{1}{2}$α.
(2)因为CD,BD分别是∠ACE和∠ABC的平分线,所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE,所以∠CDB=∠DCE - ∠DBC=$\frac{1}{2}$(∠ACE - ∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$α.
(3)因为CD,BD分别是△ABC的外角∠BCF和∠CBE的平分线,所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠CBE,∠DCB=$\frac{1}{2}$∠BCF,所以∠DBC + ∠DCB=$\frac{1}{2}$(∠CBE + ∠BCF)=$\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC + 180° - ∠ACB)=180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB)=180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A)=90° + $\frac{1}{2}$α,所以∠CDB=180° - (∠DBC + ∠DCB)=90° - $\frac{1}{2}$α.