《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,先将$\triangle ABC沿AB$向下翻折,再绕点$A按顺时针方向旋转\angle\alpha$($\angle\alpha\lt\angle BAC$),得到$Rt\triangle ADE$,其中斜边$AE交BC于点F$,直角边$DE分别交AB$,$BC于点G$,$H$。求证：(1)$\angle AFC= \angle AGD$。(2)$\triangle AFB\cong\triangle AGE$。

答案： 证明:
(1)由翻折和旋转，知AC=AD，∠BAC=∠EAD,所以∠FAC=∠GAD.因为∠AFC=90°−∠FAC,∠AGD=90°−∠GAD,所以∠AFC=∠AGD.
(2)由题意,得AB=AE,∠ABC=∠E.在△AFB和△AGE中，∠ABC=∠E,AB=AE,∠α=∠α,所以△AFB≌△AGE(ASA).

8. (综合与实践)某数学研究小组开展了测量教学楼高度的实践活动,测量方案如下。
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请你根据上述信息求出教学楼的高度$AB$。

答案： 解:因为BE=DC=9m,BD=30m,所以ED=BD−BE=30−9=21(m).因为CD⊥DB,AB⊥DB,所以∠ABE=∠EDC=90°,所以∠AEB与∠A互余.因为∠α与∠β互余,∠AEB=∠β,∠CED=∠α,所以∠A=∠CED.在△ABE和△EDC中，∠ABE=∠EDC,∠A=∠CED,BE=DC,所以△ABE≌△EDC(AAS).所以AB=ED=21m.所以教学楼的高度AB为21m.