《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

8. 如图,△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,△A'B'C'与△A''B''C''关于直线EF对称.
(1)画出直线EF；
(2)若直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB''与直线MN,EF所夹锐角α的数量关系.

答案：
8.解:
(1)如图,连接B'B"，作线段B'B"的垂直平分线EF,则直线EF即为所求.
(2)如图,连接BO,B'O,B"O.因为△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，所以∠BOM=∠B'OM.又因为△A'B'C'与△A"B"C"关于直线EF对称，所以∠B'OE=∠B"OE.所以∠BOB"=∠BOM+∠B'OM+∠B'OE+∠B"OE=2(∠B'OM+∠B'OE)=2∠MOE=2α.

9. 如图,在四边形ADBC中,AB与CD互相垂直平分,垂足为O.若OE,OF分别是点O到∠CAD两边的距离,试说明它们之间的大小关系.

答案： 9.解:因为AB垂直平分CD，所以∠AOC=∠AOD,CO=OD.在△AOC和△AOD中,$\left\{\begin{array}{l} AO=AO,\\ ∠AOC=∠AOD,\\ OC=OD,\end{array}\right. $所以△AOC≌△AOD(SAS),所以∠CAO=∠DAO.又因为OE⊥AC,OF⊥AD,所以OE=OF.

10. 【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”,那么不在线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离大小如何判断呢？
【自主探究】(1)如图①,直线l是线段AB的垂直平分线,点P在直线l的左侧,经测量,PA＜PB,请证明这个结论.
【迁移应用】(2)如图②,直线l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l外,且与点A在直线l的同侧,点D是直线l上的任意一点,连接AD,BC,CD,试判断BC和AD+CD之间的大小关系,并说明理由.

答案：
10.
(1)证明:如图①,连接PA,PB,PB与直线l交于点M,连接AM.因为直线l是线段AB的垂直平分线,所以AM=BM,所以PB=PM+BM=PM+AM.因为PM+AM＞PA,所以PA＜PB.
(2)解:AD+CD≥BC.理由如下:如图②,当D不在线段BC上时,连接BD.因为直线l是线段AB的垂直平分线,所以AD=BD，所以AD+CD=BD+CD＞BC.当D在线段BC上时,AD+CD=BC，所以AD+CD≥BC.