《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

24. (新定义题)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么这个正整数为“神秘数”,如：$4= 2^{2}-0^{2}$,$12= 4^{2}-2^{2}$。
(1)请你将68表示为两个连续偶数的平方差的形式。
(2)请说明“神秘数”能被4整除。
(3)两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由。

答案：
(1)解:设$(2m+2)^{2}-(2m)^{2}=68$,解得$m=8$,所以$2m+2=18$,$2m=16$,所以$68=18^{2}-16^{2}$.
(2)解:设两个连续偶数分别为$2k$,$2k+2$,其中$k$是整数.由题意,得$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=4(2k+1)$,所以"神秘数"能被 4 整除.
(3)解:两个连续奇数的平方差不是"神秘数".理由如下:设两个连续奇数分别为$2k-1$,$2k+1$,其中$k$是整数,则$(2k+1)^{2}-(2k-1)^{2}=8k$.由
(2)知"神秘数"是 4 的奇数倍,不是偶数倍,但是$8k$是 4 的偶数倍,所以两个连续奇数的平方差不是"神秘数".

25. 【方法理解】有些多项式看似无法分解因式,如：“$m^{2}-mn+2m-2n$”。细心观察这个式子就会发现,前两项可以用提公因式法,后两项也可以用提公因式法,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,再用提公因式法就可以完成整个式子的因式分解。过程：$m^{2}-mn+2m-2n= (m^{2}-mn)+(2m-2n)= m(m-n)+2(m-n)= (m-n)(m+2)$。将这种因式分解的方法叫作“分组分解法”。
【解决问题】
(1)分解因式：$x^{3}-3x^{2}-4x+12$。
(2)已知$m+n= 7$,$m-n= 3$,求$m^{2}-n^{2}+2m-2n$的值。
【拓展应用】
(3)若$\triangle ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,且满足$a^{2}+ab+c^{2}-bc= 2ac$,判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由。

答案：
(1)解:$x^{3}-3x^{2}-4x+12=(x^{3}-3x^{2})-(4x-12)=x^{2}(x-3)-4(x-3)=(x^{2}-4)(x-3)=(x+2)(x-2)(x-3)$.
(2)解:进行因式分解,得$m^{2}-n^{2}+2m-2n=(m^{2}-n^{2})+(2m-2n)=(m+n)(m-n)+2(m-n)=(m+n+2)(m-n)$.将$m+n=7$,$m-n=3$代入上式,得$m^{2}-n^{2}+2m-2n=(7+2)× 3=27$.
(3)解:$\triangle ABC$为等腰三角形.理由如下:$a^{2}+ab+c^{2}-bc=2ac$化简整理,得$a^{2}+ab+c^{2}-bc-2ac=0$,即$(a^{2}+c^{2}-2ac)+(ab-bc)=0$,所以$(a-c)^{2}+b(a-c)=0$,所以$(a-c)(a-c+b)=0$.因为$\triangle ABC$的三边长分别为$a$,$b$,$c$,所以$a-c+b\neq 0$,所以$a-c=0$,即$a=c$,所以$\triangle ABC$为等腰三角形.