《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

8. 如图所示,$\angle AOB$是一个钢架的示意图,且$\angle AOB = 10^{\circ}$,为了使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管$EF$,$FG$,$GH$,…$$,添加的钢管的长度都与$OE$相等,则最多能添加8根这样的钢管。
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答案： 8.8　解析:因为添加的钢管的长度都与OE 相等，∠AOB=10°，所以∠GEF=∠FGE=20°,从题图中我们会发现,第一个等腰三角形的底角是10°,第二个等腰三角形的底角是20°,第三个等腰三角形的底角是30°,第四个等腰三角形的底角是40°，第五个等腰三角形的底角是50°，第六个等腰三角形的底角是60°，第七个等腰三角形的底角是70°，第八个等腰三角形的底角是80°,第九个图形的底角是90°,就不存在这样的等腰三角形.所以一共有8个等腰三角形,故最多能添加8根这样的钢管.

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是\angle BAC$的平分线,点$D在BC$上,且$AD = AB$,过点$C作AB$的平行线,交$AD的延长线于点E$,$CF \perp AE于点F$。请你用等式表示线段$AF$,$AB$,$AC$之间的数量关系,并证明。
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答案： 9.解:2AF=AB十AC.证明如下:因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD.因为AB//CE,所以∠B=∠BCE,∠BAD=∠E,所以∠CAD=∠E,所以AC=CE.因为AB=AD,所以∠B=∠ADB,所以∠BCE=∠ADB.因为∠ADB=∠CDE,所以∠BCE=∠CDE,所以CE=ED,所以AC=CE=ED.因为CF⊥AE，所以AE=2AF.因为AE=AD+ED,所以AE=AB+AC,所以2AF=AB+AC.

10. (新定义题)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 36^{\circ}$,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形。请完成以下操作：(以下问题所指的等腰三角形个数均不包括$\triangle ABC$)
(1)在图①中画$1$条线段,使图①中有$2$个等腰三角形,并直接写出这$2$个等腰三角形的顶角的度数；
(2)在图②中画$2$条线段,使图②中有$4$个等腰三角形；
(3)继续按以上操作发现：在$\triangle ABC中画n$条线段,则图中有______个等腰三角形,其中有______个黄金等腰三角形。
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答案：
10.解:
(1)如图①所示,因为AB=AC，∠A=36°,所以当AE=BE时,∠A=∠ABE=36°,则∠AEB=108°,所以∠EBC=36°,所以这2个等腰三角形的顶角的度数分别是108°和36°(画法不唯一).
(2)如图②所示(画法不唯一).
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