《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

22. 下面是小颖对多项式因式分解的过程,请认真阅读并完成相应问题。
分解因式：$(3x+y)^{2}-(x+3y)^{2}$。
解：原式$=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)$ ····························· 第一步
$=(4x+4y)(2x-2y)$ ······ 第二步
$=8(x+y)(x-y)$ ·········· 第三步
$=8(x^{2}-y^{2})$。·························· 第四步
(1)以上变形过程中,第一步依据的公式用字母$a$,$b$表示为$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$；
(2)以上分解过程第四步出现错误,具体错误为进行了乘法运算；
(3)请写出正确的解题过程。
原式$=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)=(4x+4y)(2x-2y)=8(x+y)(x-y)$。

答案：
(1)$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
(2)四 进行了乘法运算
(3)原式$=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)=(4x+4y)(2x-2y)=8(x+y)(x-y)$.

23. 如图(单位：$\mathrm{cm}$),将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为$m\mathrm{cm}$的大正方形,两块是边长都为$n\mathrm{cm}$的小正方形,五块是长为$m\mathrm{cm}$,宽为$n\mathrm{cm}$的全等小长方形,且$m＞n$。

(1)观察图形,可以发现代数式$2m^{2}+5mn+2n^{2}$可以因式分解为$(2m+n)(m+2n)$；
(2)若每块小长方形的面积为$10\mathrm{cm}^{2}$,两个大正方形和两个小正方形的面积和为$58\mathrm{cm}^{2}$,试求$m+n$的值。
解:依题意,得$2m^{2}+2n^{2}=58$,$mn=10$,所以$m^{2}+n^{2}=29$,所以$(m+n)^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn=29+20=49$,所以$m+n=7$(负值舍去).

答案：
(1)$(2m+n)(m+2n)$
(2)解:依题意,得$2m^{2}+2n^{2}=58$,$mn=10$,所以$m^{2}+n^{2}=29$,所以$(m+n)^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn=29+20=49$,所以$m+n=7$(负值舍去).