《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

22. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle AED $ 中, $ AB = AC $, $ AE = AD $, $ \angle BAC = \angle EAD $, 且点 $ E $, $ A $, $ B $ 在同一条直线上, 点 $ C $, $ D $ 在 $ EB $ 的同侧, 连接 $ BD $, $ CE $ 交于点 $ M $.
(1) 求证: $ \triangle ABD \cong \triangle ACE $;
(2) 若 $ \angle CAD = 100° $, 求 $ \angle DME $ 的度数.

答案： 22.
(1)证明:因为∠BAC = ∠EAD,
所以∠BAC + ∠DAC = ∠EAD + ∠DAC,即∠DAB = ∠EAC.
在△ABD和△ACE中,
$\left\{\begin{array}{l}AD = AE,\\ ∠DAB = ∠EAC,\\ AB = AC,\end{array}\right.$
所以△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解:因为∠BAC = ∠EAD,∠CAD = 100°,
所以∠BAC = ∠EAD = 40°.
因为∠BAC是△EAC的一个外角,
所以∠BAC = ∠AEC + ∠ACE = 40°.
因为△ABD≌△ACE,
所以∠ECA = ∠DBA.
因为∠DME是△BME的一个外角,
所以∠DME = ∠AEC + ∠ABD = ∠AEC + ∠ACE = 40°.

23. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ CD \perp AB $ 于点 $ D $, $ BE \perp AC $ 于点 $ G $, $ F $ 是 $ CD $ 上一点, $ AB = CF $, $ BE = AC $.
(1) 求证: $ AE = AF $;
(2) 求 $ \angle EAF $ 的度数.

答案： 23.
(1)证明:因为CD⊥AB,BE⊥AC,
所以∠CAD + ∠ACD = ∠CAD + ∠EBA = 90°,
所以∠ACD = ∠EBA.
在△AEB和△FAC中,
$\left\{\begin{array}{l}AB = FC,\\ ∠EBA = ∠ACF,\\ BE = CA,\end{array}\right.$
所以△AEB≌△FAC(SAS).
所以AE = AF.
(2)解:因为△AEB≌△FAC,
所以∠E = ∠CAF.
因为∠E + ∠EAG = 90°,
所以∠CAF + ∠EAG = 90°,
即∠EAF = 90°.