《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

24. 【建立模型】如图①,在 $ \angle A $ 内部有一点 $ P $,连接 $ BP $,$ CP $,求证：$ \angle BPC = \angle 1 + \angle A + \angle 2 $；
【尝试应用】如图②,利用上面的结论,直接写出五角星中,$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E $ 的度数；
【拓展创新】如图③,将五角星截去一个角后多出一个角,求 $ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle G $ 的度数；
【提升思维】如图④,将五角星的每个角都截去,则一共得到 10 个角,则 $ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F + \angle G + \angle H + \angle I + \angle J = $ $ $。

答案：
【建立模型】证明:延长BP交AC于点M,如图①所示.　　　　　　　　 由三角形外角性质得∠BPC = ∠1 + ∠PMC,∠PMC = ∠A + ∠2,所以∠BPC = ∠1 + ∠A + ∠2.【尝试应用】解:设BD与CE相交于点N,如图②所示.　　　　　　　　 由【建立模型】得∠CND = ∠A + ∠C + ∠D.因为∠BNE = ∠CND,所以∠BNE = ∠A + ∠C + ∠D.在△BEN中,∠BNE + ∠B + ∠E = 180°,所以∠A + ∠C + ∠D + ∠B + ∠E = 180°.【拓展创新】解:延长CA与DG相交于点K,如图③所示.　　　　　　　　 因为∠CAG = 180° - ∠KAG,∠DGA = 180° - ∠KGA,所以∠CAG + ∠DGA = 360° - (∠KAG + ∠KGA).在△KAG中,∠KAG + ∠KGA = 180° - ∠K,所以∠CAG + ∠DGA = 360° - (180° - ∠K)=180° + ∠K.由【尝试应用】得∠K + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°,所以∠CAG + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠DGA = ∠CAG + ∠DGA + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180° + ∠K + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180° + 180° = 360°.【提升思维】解:由【拓展创新】得当五角星去掉一个角,多出一个角时,此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出180°,所以当五角星去掉五个角后多出五个角,此时所有角的和的度数为180° + 5×180° = 1080°.故答案为1080°.

25. 在综合与实践课上,张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动。已知条件如下：如图①,直线 $ AB $,$ AC $,$ BC $ 两两相交于 $ A $,$ B $,$ C $ 三点,且 $ \triangle ABC $ 是等边三角形,点 $ E $ 是直线 $ AC $ 上的一动点(点 $ E $ 不与点 $ A $,$ C $ 重合),点 $ F $ 在直线 $ BC $ 上,连接 $ BE $,$ EF $,使 $ EF = BE $。
(1)张老师首先提出了这样一个问题：如图①,当 $ E $ 是线段 $ AC $ 的中点时,确定线段 $ AE $ 与 $ CF $ 的数量关系,请你直接写出结论：$ AE $ $ CF $(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)。
(2)“奋斗”小组受此问题的启发,提出问题：若点 $ E $ 是线段 $ AC $ 上的任意一点,其他条件不变,(1)中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立,理由如下：如图②,过点 $ E $ 作 $ ED // BC $,交 $ AB $ 于点 $ D $。请你补充完整证明过程。
(3)“缜密”小组提出的问题是：若动点 $ E $ 的运动位置如图③所示,其他条件不变,请根据题意补全图形,判断线段 $ AE $ 与 $ CF $ 的数量关系是否发生变化,并给出证明。

答案：

(1)=　
(2)补充如下:由题意,得∠ADE = ∠ABC = ∠BAC = 60°,所以△ADE是等边三角形,所以AE = DE = AD,∠BDE = ∠ECF = 120°,所以BD = CE.因为EF = BE,所以∠CFE = ∠EBF.因为DE//BC,所以∠DEB = ∠EBF,所以∠DEB = ∠CFE,所以△BDE≌△ECF(AAS),所以DE = CF.因为DE = AE,所以AE = CF.
(3)补全图形如图,线段AE与CF的数量关系不变.　　　　 证明如下:如图,过点E作ED//BC,交AB于点D,所以∠ADE = ∠ABC = ∠BAC = 60°,∠DEB = ∠EBF,所以△ADE是等边三角形,∠BDE = ∠ECF = 60°,所以AE = DE = AD.因为EF = BE,所以∠EFB = ∠EBF,所以∠DEB = ∠EFC,所以△BDE≌△ECF(AAS),所以DE = CF.因为DE = AE,所以AE = CF.