《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

6. 如图,已知$AC平分\angle BAD$,$CE\perp AB于点E$,$CF\perp AD于点F$,且$BC= CD$.
(1)求证：$\triangle BCE\cong\triangle DCF$；
(2)若$AB= 15$,$AD= 7$,求$BE$的长.

答案： 6.
(1)证明:因为 AC 平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,所以 CE=CF.
在 Rt△BCE 和 Rt△DCF 中,$\left\{\begin{array}{l} BC=DC,\\ CE=CF,\end{array}\right. $
所以 Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).
(2)解:在 Rt△ACE 和 Rt△ACF 中,
$\left\{\begin{array}{l} AC=AC,\\ CE=CF,\end{array}\right. $
所以 Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
所以 AE=AF.
由
(1),知 Rt△BCE≌Rt△DCF,
所以 DF=BE.
设 DF=BE=x,则 AE=AB-BE=15-x,DF=AF-AD=15-x-7=8-x,
所以 8-x=x,解得 x=4.
所以 BE 的长为 4.

7. 在$\triangle ABC$中,若$AD是\angle BAC$的平分线,点$E和点F分别在AB和AC$上,且$DE\perp AB$,垂足为$E$,$DF\perp AC$,垂足为$F$(如图①),则可以得到以下两个结论：①$\angle AED+\angle AFD= 180^{\circ}$；②$DE= DF$.
那么在$\triangle ABC$中,仍然有条件“$AD是\angle BAC$的平分线,点$E和点F分别在AB和AC$上”,请探究以下两个问题：
(1)若$\angle AED+\angle AFD= 180^{\circ}$(如图②),则$DE与DF$是否仍相等？若仍相等,请证明；否则请举出反例.
(2)如图②,若$DE= DF$,则$\angle AED+\angle AFD= 180^{\circ}$是否成立？(只写出结论,不证明)

答案：
7.解:
(1)相等.
证明:如图,过点 D 作 DG⊥AB 于点 G,DH⊥AC 于点 H.

因为 AD 是∠BAC 的平分线,
所以 DG=DH,∠AGD+∠AHD=180°.
因为四边形的内角和是 360°,
所以∠HAG+∠GDH=180°.
因为∠AED+∠AFD=180°,
所以∠HAG+∠EDF=180°,
所以∠GDH=∠EDF,
所以∠GDH-∠GDF=∠EDF-∠GDF,
即∠HDF=∠GDE.
在△GDE 和△HDF 中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠EGD=∠FHD,\\ DG=DH,\\ ∠GDE=∠HDF,\end{array}\right. $
所以△GDE≌△HDF(ASA).
所以 DE=DF.
(2)成立.