《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

1. 下列分式的约分正确的是(D)
A.$\frac{x^{3}}{x}= x^{3}$
B.$\frac{xy}{xy}= 0$
C.$\frac{ab}{ab^{2}}= b$
D.$\frac{ab}{2ab^{2}}= \frac{1}{2b}$

答案： 1.D 解析：$\frac{x^{3}}{x}=x^{2}$，故选项 A 错误；$\frac{xy}{xy}=1$，故选项 B 错误；$\frac{ab}{ab^{2}}=\frac{1}{b}$，故选项 C 错误；$\frac{ab}{2ab^{2}}=\frac{1}{2b}$，故选项 D 正确.

2. 在分式 $\frac{4y + 3x}{4a},\frac{x^{2}-1}{x^{4}-1},\frac{x^{2}-xy + y^{2}}{x + y},\frac{a^{2}+2ab}{ab - 2b^{2}}$ 中,是最简分式的有(3)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 2.C 解析：最简分式是$\frac{4y+3x}{4a}$，$\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x+y}$，$\frac{a^{2}+2ab}{ab-2b^{2}}$，故最简分式有 3 个.

3. 下列式子的化简结果为 $\frac{m}{n}$ 的是(C)
A.$\frac{m^{2}}{n^{2}}$
B.$\frac{m + 2}{n + 2}$
C.$\frac{nm}{n^{2}}$
D.$\frac{-m^{2}}{nm}$

答案： 3.C 解析：$\frac{m^{2}}{n^{2}}$是最简分式，所以选项 A 不符合题意；$\frac{m+2}{n+2}$是最简分式，所以选项 B 不符合题意；$\frac{nm}{n^{2}}=\frac{m}{n}$，所以选项 C 符合题意；$\frac{-m^{2}}{nm}=-\frac{m}{n}$，所以选项 D 不符合题意.

4. 已知 $x$ 为整数,且分式 $\frac{4x + 4}{x^{2}-1}$ 的值为正整数,则 $x$ 可取的值为2，3，5。

答案： 4.2，3，5 解析：$\frac{4x+4}{x^{2}-1}=\frac{4(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{4}{x-1}$.因为 x 为整数，且分式$\frac{4x+4}{x^{2}-1}$的值为正整数，所以 x 可取的值为 2，3，5.

5. 通分：(1) $\frac{b}{a^{2}-ab},\frac{a - b}{a^{2}+ab}$；
(2) $\frac{1}{x - 2},\frac{1}{(x - 2)(x + 3)},\frac{2}{(x + 3)^{2}}$。

答案： 5.解：
(1)因为$\frac{b}{a^{2}-ab}=\frac{b}{a(a-b)}$，$\frac{a-b}{a^{2}+ab}=\frac{a-b}{a(a+b)}$，所以最简公分母是$a(a-b)(a+b)$，所以$\frac{b}{a^{2}-ab}=\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}=\frac{ab+b^{2}}{a^{3}-ab^{2}}$，$\frac{a-b}{a^{2}+ab}=\frac{(a-b)(a-b)}{a(a+b)(a-b)}=\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{a^{3}-ab^{2}}$.
(2)最简公分母是$(x-2)(x+3)^{2}$，所以$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^{2}}{(x-2)(x+3)^{2}}$，$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^{2}}$，$\frac{2}{(x+3)^{2}}=\frac{2x-4}{(x-2)(x+3)^{2}}$.

6. 约分：(1) $\frac{24a^{12}x^{3}y^{2}}{18a^{6}x^{3}}$；
(2) $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b + ab^{2}}$；
(3) $\frac{x^{2}-2x + 1}{(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}}$。

答案： 6.解：
(1)$\frac{24a^{12}x^{3}y^{2}}{18a^{6}x^{3}}=\frac{6a^{6}x^{3}\cdot4a^{6}y^{2}}{6a^{6}x^{3}\cdot3}=\frac{4}{3}a^{6}y^{2}$.
(2)$\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b+ab^{2}}=\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a+b)}=\frac{a-b}{ab}$.
(3)$\frac{x^{2}-2x+1}{(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}}=\frac{(x-1)^{2}}{(x^{2}+1+2x)(x^{2}+1-2x)}=\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}(x-1)^{2}}=\frac{1}{(x+1)^{2}}$.