《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

20. 如图,点 $ M $ 为 $ OA $ 上一点,$ MN // OB $。
(1)用尺规作图法作图：在 $ MN $ 上求作点 $ P $,使得 $ OP $ 平分 $ \angle AOB $(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)；
(2)求证：$ \triangle MOP $ 是等腰三角形。

答案：

(1)解:如图.　　　　　　
(2)证明:由
(1)知∠MOP = ∠BOP.因为MN//OB,所以∠MPO = ∠BOP,所以∠MPO = ∠MOP,所以MP = MO,所以△MOP是等腰三角形.

21. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ EF $ 是 $ AB $ 的垂直平分线,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,且 $ D $ 为 $ CE $ 的中点。
(1)求证：$ BE = AC $；
(2)若 $ \angle BEF = 55° $,求 $ \angle BAC $ 的度数。

答案：

(1)证明:如图,连接AE.　　　　　　 因为AD⊥BC于点D,且D为线段CE的中点,所以AD垂直平分CE,所以AC = AE.因为EF垂直平分AB,所以AE = BE,所以BE = AC.
(2)解:因为EF垂直平分AB,∠BEF = 55°,所以∠B = 35°.因为AE = BE,所以∠BAE = ∠B = 35°,所以∠AED = ∠B + ∠BAE = 70°.因为AC = AE,所以∠C = ∠AED = 70°,所以∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 75°.

22. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 的三个顶点的坐标分别是 $ A(-4,1) $,$ B(-3,3) $,$ C(-1,2) $。
(1)画出与 $ \triangle ABC $ 关于 $ y $ 轴对称的 $ \triangle A_1B_1C_1 $,并直接写出点 $ A_1 $,$ B_1 $,$ C_1 $ 的坐标；
(2)在 $ x $ 轴上有一点 $ D $,使得 $ \triangle ADC \cong \triangle ABC $,求点 $ D $ 的坐标。

答案：

(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.A₁(4,1),B₁(3,3),C₁(1,2).　　　　　
(2)因为△ADC≌△ABC,所以AD = AB,CD = CB.因为点D在x轴上,所以点D的位置如图所示.所以点D的坐标为( - 2,0).

23. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90° $,$ \angle BAC = 30° $,分别以 $ AB $,$ AC $ 为边在 $ \triangle ABC $ 的外侧作等边三角形 $ ABE $ 和等边三角形 $ ACD $,连接 $ DE $,与 $ AB $ 交于点 $ F $,求证：$ EF = FD $。

答案：
证明:如图,过点E作EG⊥AB于点G.　　　　　　　 因为△ABE是等边三角形,所以AG = $\frac{1}{2}AB$.因为在Rt△ABC中,∠BAC = 30°,所以BC = $\frac{1}{2}AB$,所以AG = BC.又因为AE = AB,所以Rt△EAG≌Rt△ABC(HL),所以EG = AC = AD.因为△ACD是等边三角形,所以∠CAD = 60°,所以∠DAB = 90°,所以∠DAB = ∠EGA.又因为∠EFG = ∠DFA,所以△EFG≌△DFA(AAS),所以EF = FD.