《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

8. 如图,点 $O$ 是等边三角形 $ABC$ 内一点,点 $D$ 是 $\triangle ABC$ 外的一点,$\angle AOB = 110^{\circ}$,$\angle BOC = \alpha$,$\triangle BOC \cong \triangle ADC$,$\angle OCD = 60^{\circ}$,连接 $OD$。

(1)求证：$\triangle OCD$ 是等边三角形；
(2)当 $\alpha = 150^{\circ}$ 时,试判断 $\triangle AOD$ 的形状,并说明理由；
(3)探究：当 $\alpha$ 为多少度时,$\triangle AOD$ 是等腰三角形。

答案： 8.
(1)证明:因为△BOC≌△ADC，所以OC=DC.因为∠OCD=60°,所以△OCD是等边三角形.
(2)解:△AOD是直角三角形.理由如下:因为△OCD是等边三角形，所以∠ODC=60°.因为△BOC≌△ADC,α=150°,所以∠ADC=∠BOC=α=150°,所以∠ADO=∠ADC - ∠ODC=150° - 60°=90°,所以△AOD是直角三角形.
(3)解:因为△OCD是等边三角形，所以∠COD=∠ODC=60°.因为∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,所以∠AOD=360° - ∠AOB - ∠BOC - ∠COD=360° - 110° - α - 60°=190° - α,∠ADO=∠ADC - ∠ODC=α - 60°,所以∠OAD=180° - ∠AOD - ∠ADO=180° - (190° - α) - (α - 60°)=50°.①当∠AOD=∠ADO时,即190° - α=α - 60°,所以α=125°.②当∠AOD=∠OAD时,即190° - α=50°,所以α=140°.③当∠ADO=∠OAD时,即α - 60°=50°,所以α=110°.综上所述,当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.

9. 已知在等边三角形 $ABC$ 中,点 $E$ 在 $AB$ 上,点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上,且 $ED = EC$。
(1)【特殊情况,探索结论】
如图①,当点 $E$ 为 $AB$ 的中点时,确定线段 $AE$ 与 $DB$ 的大小关系,请你直接写出结论：$AE$______$DB$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。
(2)【特例启发,解答题目】
如图②,当点 $E$ 为 $AB$ 边上任意一点时,确定线段 $AE$ 与 $DB$ 的大小关系,并说明理由。
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形 $ABC$ 中,点 $E$ 在直线 $AB$ 上,点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上,且 $ED = EC$,若 $\triangle ABC$ 的边长为 $1$,$AE = 2$,求 $CD$ 的长(请你画出相应图形,并直接写出结果)。

答案：
9.解:
(1)=
(2)AE=DB.理由如下:如图,过点E作EF//BC,交AC于点F.

因为△ABC为等边三角形，所以△AEF为等边三角形，所以AE=EF=AF,所以BE=CF.因为ED=EC,所以∠D=∠ECD.因为∠DEB=60° - ∠D,∠ECF=60° - ∠ECD,所以∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中, $\begin{cases} DE=EC, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ BE=FC, \end{cases}$ 所以△DBE≌△EFC(SAS),所以DB=EF,所以AE=DB.
(3)当点E在AB的延长线上时,作EF//AC,交CB的延长线于点F,则△EFB为等边三角形,如图所示,可得△DBE≌△CFE.

因为AB=1,AE=2,所以BE=1,所以BF=BE=1.因为DB=FC=BF+BC=2,所以CD=BC+DB=3.当点E在BA的延长线上时,不存在点D在CB延长线上,使ED=EC.综上所述,CD=3.