《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

20. 先化简,再求值：$(2x + 3y)^{2}-(2x + y)(2x - y)-2y(5y + 3x)$,其中$x = 1,y = -2$.

答案： $(2x+3y)^{2}-(2x+y)(2x-y)-2y(5y+3x)$$=(4x^{2}+12xy+9y^{2})-(4x^{2}-y^{2})-(10y^{2}+6xy)$$=4x^{2}+12xy+9y^{2}-4x^{2}+y^{2}-10y^{2}-6xy=6xy.$当$x = 1,y = -2$时,原式$=6×1×(-2)=-12.$

21. 已知$(9^{m + 1})^{2}= 3^{16},3^{2n + 1}+9^{n}= 324$,求$m + n$的值.

答案： 因为$(9^{m + 1})^{2}= 3^{16},3^{2n + 1}+9^{n}= 324$,所以$[(3^{2})^{m+1}]^{2}=3^{16}$,$3×3^{2n}+3^{2n}=324$,所以$(3^{2m+2})^{2}=3^{16}$,$4×3^{2n}=324$,所以$3^{4m+4}=3^{16}$,$3^{2n}=81=3^{4}$,所以$4m+4=16$,$2n=4$,解得$m=3$,$n=2$,所以$m + n=3+2=5.$

22. 某学生化简$a(a + 1)-(a - 3)^{2}$出现了错误,解答过程如下：
解：原式$=a^{2}+a-(a^{2}-6a + 9)$(第一步)
$=a^{2}+a - a^{2}-6a + 9$(第二步)
$=-5a + 9$(第三步)
(1) 该学生的解答过程从第二步开始出错,其错误原因是存在某些项在去括号时未变号；
(2) 请你帮助他写出正确的化简过程.
$a(a + 1)-(a - 3)^{2}=a^{2}+a-(a^{2}-6a + 9)=a^{2}+a - a^{2}+6a - 9=7a - 9$

答案：
(1)由题意可得,该学生的解答过程从第二步开始出错,其错误原因是存在某些项在去括号时没有变号.故答案为二;存在某些项在去括号时未变号.
(2)$a(a + 1)-(a - 3)^{2}=a^{2}+a-(a^{2}-6a + 9)=a^{2}+a - a^{2}+6a - 9=7a - 9.$

23. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：$(2x + a)(3x + b)$.甲由于把第一个多项式中的“$+a$”看成了“$-a$”,得到的结果为$6x^{2}+11x - 10$；乙由于漏抄了第二个多项式中$x$的系数,得到的结果为$2x^{2}-9x + 10$.
(1) 求正确的$a,b$的值；
(2) 计算出这道整式乘法题的正确结果.

答案：
(1)由题意,得$(2x - a)(3x + b)=6x^{2}+(2b - 3a)x - ab=6x^{2}+11x - 10$,所以$2b - 3a=11.$①因为乙由于漏抄了第二个多项式中$x$的系数,得到的结果为$2x^{2}-9x + 10$,所以$(2x + a)(x + b)=2x^{2}+(2b + a)x + ab=2x^{2}-9x + 10$,所以$2b + a=-9.$②联立①②,得$\begin{cases}2b - 3a=11,\\2b + a=-9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-5,\\b=-2.\end{cases}$
(2)$(2x + a)(3x + b)=(2x -5)(3x -2)=6x^{2}-19x + 10.$