《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

21. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD // BC$,$E为CD$的中点,连接$AE$,$BE$,$BE \perp AE$,延长$AE交BC的延长线于点F$.求证：
(1)$CF = AD$；
(2)$AB = BC + AD$.

答案：
(1)证明:因为AD//BC,所以∠ADE=∠FCE.因为E是CD的中点,所以DE=CE.在△ADE与△FCE中,$\begin{cases} ∠ADE=∠FCE, \\ DE=CE, \\ ∠AED=∠FEC, \end{cases}$所以△ADE≌△FCE(ASA),所以CF=AD.
(2)因为△ADE≌△FCE,所以AE=EF.又因为BE⊥AE,所以BE是线段AF的垂直平分线,所以AB=BF=BC+CF.因为CF=AD,所以AB=BC+AD.

22. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD = BC$,$\angle A = \angle B$,$E为AB$的中点,连接$CE$,$DE$.
(1)求证：$\triangle ADE \cong \triangle BCE$.
(2)若$\angle A = 70^{\circ}$,$\angle BCE = 60^{\circ}$,求$\angle CDE$的度数.

答案：
(1)证明:因为E为AB的中点,所以AE=BE.又因为AD=BC,∠A=∠B,所以△ADE≌△BCE.
(2)解:由
(1)得△ADE≌△BCE,所以DE=EC,∠ADE=∠BCE=60°,∠AED=∠BEC.因为∠A=∠B=70°,所以∠AED=∠BEC=180° - 60° - 70°=50°,所以∠DEC=180° - 50° - 50°=80°.因为DE=EC,所以∠CDE=$\frac{1}{2}×(180^{\circ}-80^{\circ})=50^{\circ}$.

23. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,$AD平分\angle CAB$,延长$AC至点E$,使$CE = AC$.
(1)求证：$DE = DB$；
(2)连接$BE$,试判断$\triangle ABE$的形状,并说明理由.

答案：
(1)证明:因为∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以BC⊥AE,∠CAB=60°.因为AD平分∠CAB,所以∠DAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°=∠ABC,所以DA=DB.因为CE=AC,所以BC是线段AE的垂直平分线,所以DE=DA,所以DE=DB.
(2)解:△ABE是等边三角形.理由如下:因为BC是线段AE的垂直平分线,所以BA=BE,即△ABE是等腰三角形.又因为∠CAB=60°,所以△ABE是等边三角形.