《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版重庆专版》

1. 如图,$AB = AC$,$BD\perp AC于点D$,$CE\perp AB于点E$,图中全等三角形的组数是(C)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： C 解析:由已知用"AAS"可证△ABD≌△ACE,所以 AE=AD;用"HL"可证△AOE≌△AOD,所以 OE=OD;用"AAS""SAS""ASA"都可证△BOE≌△COD,所以 OB=OC;用"SSS"可证△AOB≌△AOC.

2. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D为AB$上一点,且$BD = BC$,$ED\perp AB$,点$D$为垂足,如果$AC = 8\mathrm{cm}$,那么$AE + DE = $8$\mathrm{cm}$。

答案： 8 解析:因为 ED⊥AB 于点 D,∠C=90°,所以∠BDE=∠C=90°.在 Rt△BDE 和 Rt△BCE 中,{BD=BC,BE=BE,所以 Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),所以 DE=CE,所以 AE+DE=AE+CE=AC=8 cm.

3. 一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片如图①所示,再将两张三角形纸片摆成如图②所示的形式,使点$B$,$F$,$C$,$D$在同一条直线上。
(1) 求证：$AB\perp DE$。
(2) 若$PB = BC$,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予说明。

答案：
(1)证明:由已知条件,易得△ABC≌△DEF,则有∠A=∠D.又∠ANP=∠DNC,所以∠APN=∠DCN=90°,即AB⊥DE.
(2)解:△PBD≌△CBA.理由如下:由
(1)可得∠BPD=90°,所以∠BPD=∠BCA.在△PBD 和△CBA 中,{∠BPD=∠BCA,PB=BC,∠PBD=∠CBA,所以△PBD≌△CBA(ASA).

4. 如图①,$AB = 7\mathrm{cm}$,$AC\perp AB$,$BD\perp AB$,垂足分别为$A$,$B$,$AC = 5\mathrm{cm}$。点$P在线段AB上以2\mathrm{cm/s}的速度由点A向点B$运动,同时点$Q在射线BD$上运动,它们运动的时间为$t\mathrm{s}$(当点$P$运动结束时,点$Q$运动随之结束)。
(1) 若点$Q的运动速度与点P$的运动速度相等,当$t = 1$时,判断$\triangle ACP与\triangle BPQ$是否全等,并判断此时线段$PC和线段PQ$的位置关系,请分别说明理由。
(2) 如图②,若将“$AC\perp AB$,$BD\perp AB$”改为“$\angle CAB = \angle DBA$”,点$Q的运动速度为x\mathrm{cm/s}$,其他条件不变,当$x$的值为多少时,$\triangle ACP与\triangle BPQ$全等？

答案：
(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:因为 AC⊥AB,BD⊥AB,所以∠A=∠B=90°.当 t=1 时,AP=BQ=2 cm,所以 BP=AB-AP=7-2=5(cm),所以 BP=AC.在△ACP 和△BPQ 中,{AP=BQ,∠A=∠B,AC=BP,所以△ACP≌△BPQ(SAS).所以∠C=∠BPQ.因为∠C+∠APC=90°,所以∠APC+∠BPQ=90°,所以∠CPQ=90°,所以 PC⊥PQ.
(2)①若△ACP≌△BPQ,则 AC=BP,AP=BQ,所以 5=7-2t,2t=xt,解得 x=2,t=1.
②若△ACP≌△BQP,则 AC=BQ,AP=BP,所以 5=xt,2t=7-2t,解得 x=20/7,t=7/4.综上所述,x 的值为 2 或20/7时,△ACP 与△BPQ 全等.